Identidade de polarização

Vetores envolvidos na identidade de polarização.

Em álgebra linear, a identidade de polarização expressa um produto interno de um espaço normado em função de sua norma. Se uma norma surge de um produto interno, então a identidade de polarização pode ser usada para expressar esse produto interno inteiramente em termos da norma.

A norma gerada por um produto interno, satisfaz a lei do paralelogramo: $\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2$. De fato, como observado por John von Neumann,Predefinição:Sfn a lei do paralelogramo caracteriza as normas que surgem de produtos internos. Explicitamente, se $(H,\Vert \cdot \Vert )$ é um espaço normado, então:

A lei do paralelogramo vale para norma $\Vert \cdot \Vert$ se e somente se existe um produto interno $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ em $H$ tal que $\Vert x{\Vert }^2=⟨x,x⟩$ para todo $x\in H.$

Identidades de polarização

Um produto interno, em um espaço vetorial, gera uma norma por meio da seguinte relação: $$\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}.$$ Com a identidade de polarização a relação é invertida: é possível obter um produto interno de uma norma. Todo produto interno satisfaz: $$\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2+2\mathrm{Re}⟨x,y⟩\text{ para todos os vetores }x,y.$$

Espaços vetoriais reais

Se o espaço vetorial é sobre os números reais, então as identidades de polarização são definidas por:

$\begin{array}{cc}⟨x,y⟩& =\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2)\\ & =\frac{1}{2}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2)\\ & =\frac{1}{2}(\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2).\\ \end{array}$

Essas formas são todas equivalentes por conta da lei do paralelogramo: $$2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2=\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2.$$

Espaços vetoriais complexos

Para o espaço vetorial complexo, as identidades de polarização devem considerar a parte imaginária do produto interno. A parte complexa do produto interno depende se é antilinear no primeiro ou no segundo argumento. A notação $⟨x|y⟩,$ que é comumente usada em física será assumida como antilinear no primeiro argumento enquanto $⟨x,y⟩,$ que é comumente usado em matemática, será considerada antilinear no segundo argumento. Elas estão relacionados pela fórmula: $$⟨x,y⟩=⟨y|x⟩\text{ para todos }x,y\in H.$$

A parte real de qualquer produto interno (independente de qual argumento é antilinear ou se é real ou complexo) é uma função bilinear simétrica que para qualquer $x,y\in H$ é sempre igual a:Predefinição:Sfn

$\begin{array}{cc}R(x,y):& =\mathrm{Re}⟨x\mid y⟩=\mathrm{Re}⟨x,y⟩\\ & =\frac{1}{2}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2)& (1)\\ & =\frac{1}{2}(\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2)& (2)\\ & =\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2)& (3)\\ \end{array}$

É sempre uma função simétrica, ou seja: $$R(x,y)=R(y,x)\text{ para todos }x,y\in H,$$ e também satisfaz: $$R(y,ix)=-R(x,iy)\text{ para todos }x,y\in H.$$ Predefinição:Collapse top

$\begin{array}{cc}R(y,ix)& =\frac{1}{2}(⟨y,ix⟩+⟨ix,y⟩)\\ & =\frac{1}{2i}(⟨iy,ix⟩-⟨ix,iy⟩)\\ & =\frac{1}{2i}(-i⟨iy,x⟩-i⟨x,iy⟩)\\ & =-\frac{1}{2}(⟨x,iy⟩+⟨iy,x⟩)\\ & =-R(x,iy)\end{array}$

Predefinição:Collapse bottom Portanto $R(ix,y)=-R(x,iy)$, em outras palavras, mover um fator de $i=\sqrt{-1}$ para o outro argumento adiciona um sinal negativo.

Diferente da sua parte real, a parte imaginária de um produto interno complexo depende de qual argumento é antilinear.

Antilinear no primeiro argumento

Para o produto interno $⟨x|y⟩,$ antilinear no primeiro argumento, para todo $x,y\in H,$

$\begin{array}{cc}⟨x|y⟩& =\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2-i\Vert x+iy{\Vert }^2+i\Vert x-iy{\Vert }^2)\\ & =R(x,y)-iR(x,iy)\\ & =R(x,y)+iR(ix,y).\\ \end{array}$

A penúltima igualdade é semelhante a fórmula que expressa o funcional linear $\phi$ em termos de sua parte real: $\phi (y)=\mathrm{Re}\phi (y)-i(\mathrm{Re}\phi )(iy).$

Antilinear no segundo argumento

Para o produto interno $⟨x,y⟩$ que é antilinear no segundo argumento, segue de$⟨x|y⟩$ pela relação: $⟨x,y⟩:=⟨y|x⟩=\overline{⟨x|y⟩}.$ Então para quaisquer $x,y\in H,$Predefinição:Sfn

$\begin{array}{cc}⟨x,y⟩& =\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2+i\Vert x+iy{\Vert }^2-i\Vert x-iy{\Vert }^2)\\ & =R(x,y)+iR(x,iy)\\ & =R(x,y)-iR(ix,y).\\ \end{array}$

Essa expressão pode reescrita como: $$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}\sum _{k=0}^3{i}^k{\Vert x+i^{k}y\Vert }^2.$$

Portanto se $R(x,y)+iI(x,y)$ denota as partes real e imaginária de um produto interno no ponto $(x,y)\in H\times H$ do seu domínio, então sua parte imaginária será: $$I(x,y)=\{\begin{array}{cc}R(ix,y)=-R(x,iy)& \text{ Se é antilinear no primeiro argumento}\\ R(x,iy)=-R(ix,y)& \text{ Se é antilinear no segundo argumento}\end{array}$$ em que o escalar $i$ está sempre localizado no mesmo argumento que o produto interno é antilinear.

Reconstruindo o produto interno

Seja $(H,\Vert \cdot \Vert )$ um espaço normado que satisfaz a lei do paralelogramo: $$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2$$ então existe um único produto interno $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ em $H$ tal que $\Vert x{\Vert }^2=⟨x,x⟩$ para todo $x\in H.$Predefinição:SfnPredefinição:Sfn

Outra condição necessária e suficiente para existir um produto interno que induz uma norma dada é que a norma satisfaça a desigualdade de Ptolomeu: $$\Vert x-y\Vert \Vert z\Vert +\Vert y-z\Vert \Vert x\Vert \ge \Vert x-z\Vert \Vert y\Vert \text{ para todos vetores }x,y,z.$$

Aplicações e consequências

Se $H$é um espaço de Hilbert complexo, então $⟨x\mid y⟩$ é real se, e somente se, sua parte complexa é $0=R(x,iy)=\frac{1}{4}(\Vert x+iy{\Vert }^2-\Vert x-iy{\Vert }^2),$ o que acontece se, e somente se, $\Vert x+iy\Vert =\Vert x-iy\Vert .$ Similarmente, $⟨x\mid y⟩$ é imaginário puro se, e somente se, $\Vert x+y\Vert =\Vert x-y\Vert .$ Por exemplo, de $\Vert x+ix\Vert =|1+i|\Vert x\Vert =\sqrt{2}\Vert x\Vert =|1-i|\Vert x\Vert =\Vert x-ix\Vert$ conclui-se que $⟨x|x⟩$ é real e que $⟨x|ix⟩$ é imaginário puro.

Isometrias

Se $A:H\to Z$ é uma isometria linear entre dois espaços de Hilbert (logo $\Vert Ah\Vert =\Vert h\Vert$ para todo $h\in H$), então$$⟨Ah,Ak{⟩}_Z=⟨h,k{⟩}_H\text{ para todos }h,k\in H;$$ou seja, isometrias linear preservam o produto interno.

Se $A:H\to Z$ é uma isometria antilinear, então$$⟨Ah,Ak{⟩}_Z=\overline{⟨h,k{⟩}_H}=⟨k,h{⟩}_H\text{ para todos }h,k\in H.$$

Relação com a lei dos cossenos

A segunda forma da identidade de polarização pode ser escrita como:$$\Vert \mathbf{\text{u}}-\mathbf{\text{v}}{\Vert }^2=\Vert \mathbf{\text{u}}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{\text{v}}{\Vert }^2-2(\mathbf{\text{u}}\cdot \mathbf{\text{v}}).$$Essencialmente, essa é uma forma vetorial da lei dos cossenos para o triângulo formado pelos vetores $\mathbf{\text{u}},\mathbf{\text{v}}$, e $\mathbf{\text{u}}-\mathbf{\text{v}}$. Em particular,$$\mathbf{\text{u}}\cdot \mathbf{\text{v}}=\Vert \mathbf{\text{u}}\Vert \Vert \mathbf{\text{v}}\Vert \cos \theta ,$$em que $\theta$ é o ângulo entre os vetores $\mathbf{\text{u}}$ e $\mathbf{\text{v}}$.

Dedução

A relação básica entre a norma e o produto escalar é dada pela equação:$$\Vert \mathbf{\text{v}}{\Vert }^2=\mathbf{\text{v}}\cdot \mathbf{\text{v}},$$então,$$\begin{array}{cc}\Vert \mathbf{\text{u}}+\mathbf{\text{v}}{\Vert }^2& =(\mathbf{\text{u}}+\mathbf{\text{v}})\cdot (\mathbf{\text{u}}+\mathbf{\text{v}})\\ & =(\mathbf{\text{u}}\cdot \mathbf{\text{u}})+(\mathbf{\text{u}}\cdot \mathbf{\text{v}})+(\mathbf{\text{v}}\cdot \mathbf{\text{u}})+(\mathbf{\text{v}}\cdot \mathbf{\text{v}})\\ & =\Vert \mathbf{\text{u}}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{\text{v}}{\Vert }^2+2(\mathbf{\text{u}}\cdot \mathbf{\text{v}}),\end{array}$$similarmente,$$\Vert \mathbf{\text{u}}-\mathbf{\text{v}}{\Vert }^2=\Vert \mathbf{\text{u}}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{\text{v}}{\Vert }^2-2(\mathbf{\text{u}}\cdot \mathbf{\text{v}}).$$As formas (1) e (2) da identidade de polarização são obtidas resolvendo essas equações para u · v, enquanto a forma (3) é obtida subtraindo essas duas equações (somando-as obtém-se a lei do paralelogramo).

Bibliografia

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