Transformação linear

A reflexão em torno do eixo Oy é um exemplo de transformação linear.

Em álgebra linear, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e o contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.

Definição e consequências imediatas

Sejam $V$ e $W$ espaços vetoriais sobre o mesmo corpo $K.$

Diz-se que uma função $T:V\to W$ é uma transformação linear se, para quaisquer $u,v\in V$ e $\alpha \in K,$valem as relações:

• $T(v+u)=T(v)+T(u);$
• $T(\alpha v)=\alpha T(v).$

Exemplos

• a função $T$ de $K$ em $K$ definida por $T(x)=3x;$
• a função $T$ de $K^2$ em $K$ definida por $T(x,y)=x+y;$
• a função $T$ de $K^2$ em $K^2$ definida por $T(x,y)=(3x+y,2x-2y);$
• se $D$ for o espaço das funções deriváveis de $ℝ$ em $ℝ$, e se $F$ for o espaço de todas as funções de $ℝ$ em $ℝ$, então a derivação (isto é, a função de $D$ em $C$ que envia cada função na sua derivada) é linear.

Em contrapartida, se $a\in K-\{0\}$, então a função $T$ de $K$ em $K$ definida por $T(x)=x+a$ não é uma transformação linear.

Se $T$ for uma função de um espaço vetorial $V$ num espaço vetorial $W,$ então afirmar que $T$ é linear equivale a afirmar que $T$ preserva combinações lineares de pares de vetores, isto é, para quaisquer dois vetores $v_1,v_2$ ∈ $V$ e dois escalares ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ ∈ $K:$

$$T({\alpha }_1{v}_1+{\alpha }_2{v}_2)={\alpha }_{1}T(v_1)+{\alpha }_{2}T(v_2)$$

Para qualquer aplicação linear $T$ de $V$ em $W$, tem-se:

• $T(0)=0,$ pois $T(0)=T(0-0)=T(0)-T(0)=0.$
• se $v$ ∈ $V,$ então $T(-v)=-T(v),$ pois $T(v)+T(-v)=T(v-v)=T(0)=0.$

Função linear

Uma função linear

Função linear é a função matemática que possui duas propriedades:

• Aditividade:

$$f(x+x^{\prime })=f(x)+f(x^{\prime });$$

• Homogeneidade:

$$f(ax)=af(x).$$ Em suma:

$f(ax+b{x}^{\prime })=af(x)+bf(x^{\prime })$

As funções lineares são funções cujo gráfico é uma recta que atravessa a origem do plano cartesiano, isto é, em que b=0.

Definição

Chama-se função linear à função definida por uma equação da forma $y=ax,$ em que $a$ é um número real.

• $y$ é a variável dependente e $x$ a variável independente;
• $a$ é o coeficiente angular.

Nota: geralmente os economistas chamam a qualquer reta da forma $y=mx+b$ uma função linear. No entanto, o conceito puro matemático, requer que a ordenada na origem seja zero para que a função seja considerada linear. Quando $b$ é diferente de zero, passa-se a chamar de função afim.

Predefinição:Artigo principal A definição mais geral de função linear é feita no contexto da álgebra linear, e depende do conceito de espaço vetorial.

Sejam $(V,F,{\oplus }_V,{\otimes }_V,+,\times )\text{ e }(W,F,{\oplus }_W,{\otimes }_W,+,\times )$ espaços vetoriais. Uma função $f:V\to W$ é uma função linear se ela satisfaz os seguintes axiomas:

• $\mathrm{\forall }x,y\in V(f(x{\oplus }_{V}y)=f(x){\oplus }_{W}f(y))$
• $\mathrm{\forall }a\in F\mathrm{\forall }v\in V(f(a{\otimes }_{V}v)=a{\otimes }_{W}f(v))$

Note-se que, quando não existe possibilidade de confusão, escreve-se + e . para as somas de vetores e produto de escalar por vetor, e os axiomas ficam:

• $\mathrm{\forall }x,y\in V(f(x+y)=f(x)+f(y))$
• $\mathrm{\forall }a\in F\mathrm{\forall }v\in V(f(av)=af(v))$

Núcleo

O núcleo de uma transformação linear $T$ de $V$ em $W,$ denotado por $\ker (T),$ é o conjunto $\{v\in V|T(v)=0\},$ em que $0$ é o vetor nulo de $W.$

Exemplo: O núcleo da função $T$ de $K^3$ em $K^3$ definida por $T(x,y,z)=(2x-z,2z+y,x+y+3z/2)$ é: $$\ker (T)=\{(x,y,z)|x=z/2=-y/4\}$$

O conjunto $\ker (T)$ é um subespaço vetorial de V, pois se $v_1,v_2$ ∈ $\ker (T)$ e se ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ ∈ $K,$ então $T({\alpha }_1{v}_1+{\alpha }_2{v}_2)={\alpha }_{1}T(v_1)+{\alpha }_{2}T(v_2)=0,$ ou seja, ${\alpha }_1{v}_1+{\alpha }_2{v}_2$ ∈ $\ker (T).$

Se uma aplicação linear $T$ de $V$ em $W$ for injectiva, então $\ker (T)=\{0\},$ pois $T(0)=0$ e, portanto, pela injectividade de $T,$ o único vector $v$ ∈ $V$ tal que $T(v)=0$ é $0.$ Reciprocamente, se $\ker (T)=\{0\},$ então $T$ é injectiva, pois, dados $v,w$ ∈ $V:$ $$T(v)=T(w)⟺T(v)-T(w)=0⟺T(v-w)=0⟺v-w\in \ker (T)\Rightarrow v-w=0⟺v=w$$

Imagem

Sejam $V$ e $W$ espaços vetoriais sobre um corpo $K.$ A imagem de uma transformação linear $T$ de $V$ em $W$ é o conjunto: $$\mathrm{Im}(T)=\{f(v)|v\in V\}$$

Sejam $w_1,w_2$ dois elementos da imagem de $T$ e sejam ${\alpha }_1,{\alpha }_2\in K.$ Então, como $w_1,w_2$ estão na imagem de $T,$ há vectores $v_1,v_2\in V$ tais que $w_1=T(v_1)$ e que $w_2=T(v_2),$ pelo que: $${\alpha }_1{w}_1+{\alpha }_2{w}_2={\alpha }_{1}T(v_1)+{\alpha }_{2}T(v_2)=T({\alpha }_1{v}_1+{\alpha }_2{v}_2)\in \mathrm{I}\mathrm{m}(T)$$ Logo, $\mathrm{Im}(T)$ é um subespaço vetorial de $W.$

Dimensão da imagem e do núcleo

Sejam $V$ e $W$ espaços vetoriais sobre um corpo $K,$ sendo $V$ de dimensão finita, e seja $T$ uma transformação linear de $V$ em $W.$ Então $$\dim (V)=\dim (\ker (T))+\dim (\mathrm{Im}(T)).$$ Vai ser visto como se pode demonstrar esse facto. Seja $n=\dim (\ker (T))$ e seja $\{v_1,v_2,$ …$,v_n\}$ uma base de $\ker (T).$ Como $\ker (T)$ é um subespaço de $V,$ pode-se completar essa base até obtermos uma base de $V.$ Sejam então $w_1,w_2,$  … $,w_m$ ∈ $V$ tais que $\{v_1,v_2,$ …$,v_n,w_1,w_2,$ …$,w_m\}$ seja uma base de $V;$ em particular, $\dim (V)=n+m.$ Vai-se provar que $\{T(w_1),$ …$,T(w_m)\}$ é uma base de Im$(T),$ de onde resultará que $$\dim (\mathrm{Im}(T))=m=(m+n)-n=\dim (V)-\dim (\ker (T)).$$ Se $w$ ∈ Im$(T),$ então $w=T(v)$ para algum $v$ ∈ $V$ e $v$ pode ser escrito sob a forma $$v={\alpha }_1{v}_1+\cdots {\alpha }_n{v}_n+{\beta }_1{w}_1+\cdots +{\beta }_m{w}_m,$$ pelo que $$T(v)={\beta }_{1}T(w_1)+\cdots +{\beta }_{m}T(w_m),$$ visto que $v_1,v_2,\dots ,v_n$ ∈ $\ker (T).$ Isto prova que $\{T(w_1),\dots ,T(w_m)\}$ gera $\mathrm{Im}(T).$ Por outro lado, os vetores $T(w_1),T(w_2),\dots ,T(w_m)$ são linearmente independentes, pois se ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m$ ∈ $K$ forem tais que $${\alpha }_{1}T(w_1)+{\alpha }_{2}T(w_2)+\cdots +{\alpha }_{m}T(w_m)=0,$$ então $$T({\alpha }_1{w}_1+{\alpha }_2{w}_2+\cdots +{\alpha }_m{w}_m)=0\Rightarrow {\alpha }_1{w}_1+{\alpha }_2{w}_2+\cdots +{\alpha }_m{w}_m\in \ker (T),$$ de onde resulta que ${\alpha }_1{w}_1+{\alpha }_2{w}_2+\dots +{\alpha }_m{w}_m$ é uma combinação linear dos vetores $v_1,v_2,\dots ,v_n,$ o que é só é possível se ${\alpha }_1={\alpha }_2=\dots ={\alpha }_m=0,$ pois o conjunto $\{v_1,v_2,\dots ,v_n,w_1,w_2,\dots ,w_m\}$ é uma base e, portanto, linearmente independente.

Este teorema também pode ser estendido para dimensões infinitas, mas, neste caso, sua demonstração e até o enunciado dependem do axioma da escolha.

Tipos especiais

Denomina-se isomorfismo uma transformação linear que seja bijetiva.

Denomina-se endomorfismo ou operador linear uma transformação linear de um espaço vetorial «nele mesmo», ou seja, uma transformação que tenha domínio igual ao contradomínio.

Se $T$ for um endomorfismo de um espaço vetorial $V$ de dimensão finita, então são condições equivalentes:

1. $T$ é injetivo;
2. $T$ é sobrejetivo;
3. $T$ é bijetivo.

É claro que a terceira condição implica as outras duas. Se $T$ for sobrejetivo, então $$\dim (V)=\dim (\mathrm{Im}(T))=\dim (V)-\dim (\ker (T)),$$ pelo que $\dim (\ker (T))=0$ e, portanto, $\ker (T)=\{0\},$ pelo que $T$ é injetivo. Por outro lado, se $T$ for injetivo, então $$0=\dim (\ker (T))=\dim (V)-\dim (\mathrm{Im}(T)),$$ pelo que $\dim (V)=\dim (\mathrm{Im}(T))$ e, portanto, $V=\mathrm{Im}(T),$ ou seja, $T$ é sobrejetivo.

Exemplos de matrizes de transformações lineares

Alguns casos especiais de transformações lineares do espaço R² são bastante elucidativas:

• rotação de 90 graus no sentido anti-horário: $$𝐀=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$$
• rotação por $\theta$ graus no sentido anti-horário: $$𝐀=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& -\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(\theta )\\ \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right]$$
• reflexão em torno do eixo x: $$𝐀=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$$
• reflexão em torno do eixo y: $$𝐀=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$
• projeção sobre o eixo y: $$𝐀=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right].$$

Espaço das transformações lineares

Sejam $V$ e $W$ espaços vetoriais sobre o corpo $K.$ Seja $L(V,W)$ definido como o conjunto de todas transformações lineares de $V$ em $W.$ Como funções, para quaisquer operadores $T$ e $U$ e qualquer escalar $a,$ podemos definir $T+U$ e $aT$ por: $$(T+U)(v)=T(v)+U(v)$$ $$(aT)(v)=aT(v)$$

É imediato provar que $T+U$ e $aT$ também são transformações lineares de $V$ em $W,$ e que $L(V,W)$ com a soma de transformações e a multiplicação de um escalar por uma transformação forma um espaço vetorial sobre $K.$

Pelo fato de que, dadas bases de $V$ e $W,$ temos uma representação de cada transformação linear através de uma matriz de dimensão $n$ × $m,$ concluímos que a dimensão de $L(V,W)$ é $nm$ (no caso de dimensão infinita, algum cuidado deve ser tomado nesta demonstração).

Espaço dos operadores lineares

Um caso particular importante é o espaço $L(V,V),$ das transformações lineares de um espaço vectorial nele mesmo (operadores lineares).

Como a composição de operadores lineares é um operador linear, este espaço tem uma estrutura de álgebra, em que a composição de funções faz o papel do produto de operadores.

Assim, dado um operador linear $T,$ podem-se definir as potências $T^2,T^3,$ ou, de modo geral, $T^n,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{Z}}^{\mathbb{+}}.$ Portanto, se $p(x)$ é um polinômio com coeficientes no corpo de escalares, faz sentido definir $p(T):$ $$p(x)=a_0+a_{1}x+\dots +a_n{x}^n⟹p(T)=a_0{I}_V+a_{1}T+\dots +a_n{T}^n,$$ em que $I_V$ é o operador identidade em $V.$

Verificam-se facilmente as seguintes propriedades:

• Se $p(x)$ e $q(x)$ são polinômios, então $p(T)+q(T)=(p+q)(T)$ e $p(T)q(T)=(pq)(T).$

Se o espaço $V$ tem dimensão finita $n,$ então $L(V,V)$ também tem dimensão finita $n^2.$ Portanto, o conjunto de $n^2+1$ operadores $\{I_V,T,\dots ,T^{n^2}\}$ é linearmente dependente. Logo, existem escalares $a_0,a_1,\dots a_{n^2},$ não todos nulos, tais que $a_0{I}_V+a_{1}T+\dots +a_{n^2}{T}^{n^2}=0.$ Ou seja, existe um polinômio não-nulo $p(x)$ tal que $p(T)=0$.

Se existe um polinômio não-nulo $f(x)$ tal que $f(T)=0$, então o conjunto não-vazio dos polinômio $q(x)$ tais que $q(T)=0$ forma um ideal no anel de todos polinômios com coeficientes no corpo. Portanto, existe um único polinômio mônico $p(x)$ tal que $p(T)=0$. Este polinômio é chamado de polinômio mínimo de $T.$

Espaço dual

Predefinição:Artigo principal Seja $V$ um espaço vetorial sobre um corpo $K.$ O espaço dual de $V,$ representado por $V^{*},$ é o espaço vetorial $L(V,K)$ das transformações lineares de $V$ em $K.$

Ver também

• Função linear
• Função afim
• Função polinomial de primeiro grau