Autoproblema não linear

Em matemática, um autoproblema não linear, às vezes um problema de autovalor não linear, é uma generalização do problema de autovalor (comum) para equações que dependem não linearmente do autovalor. Especificamente, refere-se a equações da forma

$M(\lambda )x=0,$

em que $x\ne 0$ é um vetor, e $M$ é uma função a valores matriciais do número $\lambda$. O número $\lambda$ é conhecido como o autovalor (não linear), o vetor $x$ como autovetor (não linear), e $(\lambda ,x)$ como um par próprio. A matriz $M(\lambda )$ é singular em um autovalor $\lambda$.

Definição

Na disciplina de álgebra linear numérica, normalmente é utilizada a seguinte definição.

Seja $\mathrm{\Omega }\subseteq ℂ$, e seja $M:\mathrm{\Omega }\to {ℂ}^{n\times n}$ uma função que leva escalares em matrizes. Um escalar $\lambda \in ℂ$ é chamado de autovalor, e um vetor não nulo $x\in {ℂ}^n$ é chamado de autovetor à direita se $M(\lambda )x=0$. Além disso, um vetor não nulo $y\in {ℂ}^n$ é chamado de autovetor à esquerda se $y^{H}M(\lambda )=0^H$, onde o sobrescrito $H^{}$ denota a transposição hermitiana. A definição de autovalor é equivalente a $\det (M(\lambda ))=0$, em que $\det ()$ denota o determinante.

Geralmente exige-se que a função $M$ seja uma função holomorfa de $\lambda$ (em algum domínio $\mathrm{\Omega }$)

Em geral, $M(\lambda )$ poderia ser uma transformação linear, mas mais comumente é uma matriz de dimensão finita, geralmente quadrada.

Definição: O problema é considerado regular se existir algum $z\in \mathrm{\Omega }$ tal que $\det (M(z))\ne 0$. Caso contrário, é considerado singular.

Definição: diz-se que um autovalor $\lambda$ tem multiplicidade algébrica $k$ se $k$ é o menor inteiro tal que a $k$-ésima derivada de $\det (M(z))$ em relação a $z$ em $\lambda$ é diferente de zero. Em fórmulas, isso significa que ${\frac{d^k\det (M(z))}{d{z}^k}|}_{z=\lambda }\ne 0$ mas ${\frac{d^{\ell }\det (M(z))}{d{z}^{\ell }}|}_{z=\lambda }=0$ para $\ell =0,1,2,\dots ,k-1$.

Definição: a multiplicidade geométrica de um autovalor $\lambda$ é a dimensão do espaço nulo de $M(\lambda )$.

Casos especiais

Os exemplos a seguir são casos especiais do problema de autovalor não linear.

• O problema de autovalor (usual): $M(\lambda )=A-\lambda I.$
• O problema de autovalor generalizado: $M(\lambda )=A-\lambda B.$
• O problema de autovalor quadrático: $M(\lambda )=A_0+\lambda A_1+{\lambda }^2{A}_2.$
• O problema de autovalor polinomial: $M(\lambda )=\sum _{i=1}^m{\lambda }^i{A}_i.$
• O problema de autovalor racional: $M(\lambda )=\sum _{i=1}^{m_1}{A}_i{\lambda }^i+\sum _{i=1}^{m_2}{B}_i{r}_i(\lambda ),$ em que $r_i(\lambda )$ são funções racionais.
• O problema de autovalor com atraso: $M(\lambda )=-I\lambda +A_0+\sum _{i=1}^m{A}_i{e}^{-{\tau }_i\lambda },$ em que ${\tau }_1,{\tau }_2,\dots ,{\tau }_m$ são escalares dados, conhecidos como atrasos.

Cadeias de Jordan

Definição: Let $({\lambda }_0,x_0)$ um autopar. Uma tupla de vetores $(x_0,x_1,\dots ,x_{r-1})\in {ℂ}^n\times {ℂ}^n\times \dots \times {ℂ}^n$ é chamada de cadeia de Jordan se$$\sum _{k=0}^{\ell }{M}^{(k)}({\lambda }_0)x_{\ell -k}=0,$$para $\ell =0,1,\dots ,r-1$, em que $M^{(k)}({\lambda }_0)$ denota a $k$-ésima derivada de $M$ em relação a $\lambda$ e avaliada em $\lambda ={\lambda }_0$. Os vetores $x_0,x_1,\dots ,x_{r-1}$ são chamados de autovetores generalizados, $r$ é chamado de comprimento da cadeia Jordan, e o comprimento máximo de uma cadeia Jordan começando com $x_0$ é chamado de rank de $x_0$.

Teorema: Uma tupla de vetores $(x_0,x_1,\dots ,x_{r-1})\in {ℂ}^n\times {ℂ}^n\times \dots \times {ℂ}^n$ é uma cadeia de Jordan se, e somente se, a função $M(\lambda ){\chi }_{\ell }(\lambda )$ tem uma raiz em $\lambda ={\lambda }_0$ e a raiz é de multiplicidade pelo menos $\ell$ para $\ell =0,1,\dots ,r-1$, em que a função a valores vetoriais ${\chi }_{\ell }(\lambda )$ é definida como$${\chi }_{\ell }(\lambda )=\sum _{k=0}^{\ell }{x}_k(\lambda -{\lambda }_0{)}^k.$$

Não linearidade de autovetor

A não linearidade de autovetores é uma forma de não linearidade relacionada, mas diferente, que às vezes é estudada. Neste caso, a função $M$ leva vetores em matrizes, ou às vezes matrizes hermitianas em matrizes hermitianas.

Leitura complementar

• Françoise Tisseur e Karl Meerbergen, "The quadratic eigenvalue problem," SIAM Review 43 (2), 235-286 (2001) (link).
• Gene H. Golub e Henk A. van der Vorst, "Eigenvalue computation in the 20th century," Journal of Computational and Applied Mathematics 123, 35-65 (2000).
• Philippe Guillaume, "Nonlinear eigenproblems," SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 20 (3), 575–595 (1999) (link).
• Cedric Effenberger, "Robust solution methods fornonlinear eigenvalue problems", tese de doutorado EPFL (2013) (link)
• Roel Van Beeumen, "Rational Krylov methods fornonlinear eigenvalue problems", tese de doutorado KU Leuven (2015) (link)