Espaço de Wiener abstrato

Um espaço de Wiener abstrato é um objeto matemático em teoria da medida, usado para construir uma medida razoável (estritamente positiva e localmente finita) de um espaço vetorial de dimensões infinitas. Tem este nome graças ao matemático norte-americano Norbert Wiener. A construção original de Wiener, conhecida como espaço de Wiener clássico, só se aplicava ao espaço de caminhos contínuos de valores reais referentes ao intervalo unitário. Leonard Gross propôs a generalização ao caso de um espaço de Banach separável comum.

O teorema da estrutura para medidas gaussianas afirma que todas as medidas gaussianas podem ser representadas pela construção de um espaço de Wiener abstrato.

Definição

Considere $H$ um espaço de Hilbert separável, $E$ um espaço de Banach separável e $i:H\to E$ um operador linear contínuo injetor com imagem densa (isto é, o fechamento de $i(H)$ em $E$ é o próprio $E$) que radonifica a medida gaussiana canônica de conjunto cilíndrico ${\gamma }^H$ em $H$. Então, o triplo $(i,H,E)$(ou simplesmente $i:H\to E$) é chamado de espaço de Wiener abstrato. A medida $\gamma$ induzida em $E$ é chamada de medida de Wiener abstrata de $i:H\to E$.

O espaço de Hilbert $H$ é às vezes chamado de espaço de Cameron-Martin ou espaço de Hilbert com núcleo reprodutor.

Algumas fontes consideram $H$ um subespaço de Hilbert densamente incorporado do espaço de Banach $E$, sendo $i$ simplesmente a inclusão de $H$ em $E$. Não há perda de generalização ao tomar o ponto de vista dos "espaços incorporados" em vez do ponto de vista dos "espaços diferentes" mencionado acima.

Propriedades

• $\gamma$ é uma medida de Borel: é definida na sigma-álgebra de Borel gerada pelos subconjuntos abertos de $E$.
• $\gamma$ é uma medida gaussiana no sentido de que $f_{*}(\gamma )$ é uma medida gaussiana em $R$ para toda forma linear $f\in E^{*}$, $f\ne 0$.
• Portanto, $\gamma$ é estritamente positiva e localmente finita.
• Se $E$ é um espaço de Banach de dimensões finitas, podemos considerar que $E$ é isomórfico a $R^n$ para algum $n\in N$. Considerar $H=R^n$ e $i:H\to E$ o isomorfismo canônico dá a medida de Wiener abstrata $\gamma ={\gamma }^n$, a medida gaussiana padrão de $R^n$.
• O comportamento de $\gamma$ sob translação é descrito pelo teorema de Cameron-Martin.
• Dados dois espaços de Wiener abstratos $i_1:H_1\to E_1$ e $i_2:H_2\to E_2$, pode-se mostrar que $\gamma$₁₂ $={\gamma }_1\otimes {\gamma }_2$. Em detalhe:

$(i_1\times i_2{)}_{*}({\gamma }^{H_1\times H_2})=(i_1{)}_{*}\left({\gamma }^{H_1}\right)\otimes (i_2{)}_{*}\left({\gamma }^{H_2}\right),$

isto é, a medida de Wiener abstrata $\gamma$₁₂ no produto cartesiano $E_1\times E_2$ é o produto das medidas de Wiener abstratas nos dois fatores $E_1$ e $E_2$.

• Se $H$ (e $E$) são de infinitas dimensões, a imagem de $H$ é um conjunto de medida zero, isto é, $\gamma (i(H))=0$. Este fato é uma consequência da lei zero-um de Kolmogorov.

Espaço de Wiener clássico

Predefinição:AP O espaço de Wiener abstrato mais usado é o espaço de caminhos contínuos, conhecido como espaço de Wiener clássico. Este é o espaço de Wiener abstrato com

$H:=L_0^{2,1}([0,T];{ℝ}^n):=\{\text{caminhos a partir de 0 com primeira derivada}\in L^2\}$

com produto interno

$⟨{\sigma }_1,{\sigma }_2{⟩}_{L_0^{2,1}}:=\underset{0}{\overset{T}{\int }}⟨{\dot{\sigma }}_1(t),{\dot{\sigma }}_2(t){⟩}_{{ℝ}^n}\mathrm{d}t,$

$E=C_0([0,T];R^n)$com norma

$\Vert \sigma {\Vert }_{C_0}:=\underset{t\in [0,T]}{\sup }\Vert \sigma (t){\Vert }_{{ℝ}^n},$

e função inclusão $i:H\to E$. Esta medida $\gamma$ é chamada de medida de Wiener clássica ou simplesmente medida de Wiener.