Funções implícitas e explícitas

Na matemática, usam-se os termos função implícita e função explícita para designar funções definidas por expressões matemáticas sendo que:

• nas funções explícitas a fórmula é dada como f(x) = φ(x), em que φ é uma expressão em x, ou seja, utiliza apenas constantes, funções anteriormente definidas e a variável x.
• nas funções implícitas a fórmula é dada como Φ(f, x) = 0, em que Φ é uma expressão em f e x, ou seja, utiliza apenas constantes, funções anteriormente definidas e as variáveis f e x. Esta fórmula é interpretada como f = f(x).

Em uma função explícita é fornecida uma prescrição para a determinação do valor de saída da função y em termos do valor de entrada x:

y = f(x).

Em contraste, a função é implícita se o valor de y é obtido de x por resolver-se uma equação da forma:

R(x,y) = 0.

Ou seja, ela é definida como o conjunto de nível de uma função em duas variáveis: uma variável ou o outro pode determinar a outra, mas não é dada uma fórmula explícita para um em termos do outro.

Funções implícitas podem frequentemente ser úteis em situações onde seja conveniente resolver explicitamente uma equação da forma R(x,y) = 0 para y em termos de x. Mesmo que seja possível reorganizar a equação para obter y como uma função explícita f(x), pode não ser desejável fazê-lo desde a expressão de f que pode ser muito mais complicado que a expressão de R. Em outras situações, a equação R(x,y) = 0 pode falhar em definir uma função em todos, e sim definir um tipo de função multivalorada. No entanto, em muitas situações, ainda é possível trabalhar com funções implícitas. Algumas técnicas de cálculo, tais como diferenciação, pode ser realizada com relativa facilidade usando diferenciação implícita.

O teorema da função implícita fornece uma ligação entre funções implícitas e explícitas. Ele estabelece que se a equação R(x, y) = 0 satisfaz algumas condições brandas sobre suas derivadas parciais, então pode-se, em princípio, resolver esta equação para y, pelo menos durante alguns pequenos intervalo. Geometricamente, o gráfico definida por R(x,y) = 0 irá sobrepor-se localmente com o gráfico de uma função y = f(x).

Existem vários métodos numéricos para resolver-se a equação R(x,y)=0 para encontrar uma aproximação para a função implícita y. Muitos destes métodos são iterativos em que eles produzem-se melhores aproximações sucessivas, de modo que uma precisão requerida pode ser alcançada. Muitos destes métodos iterativos são baseados em alguma forma do método de Newton.

Funções implícitas

No cálculo, a diferenciação implícita é um meio de derivar equações implícitas, ou seja, funções onde y não está definido como função explícita de x, por exemplo: $y^2+x^2=1$. Equações onde não temos de um modo explicito uma relação entre as duas variáveis pela qual possamos escrever $y=f(x)$

Uma função explícita é aquela que podemos escrever por exemplo: $f(x)=x^2+2x+3$ onde $f(x)=y$.

Já a função implícita é aquela onde temos por exemplo:

$y^2+x^2=1$

No caso essa equação não está em termos de x, nem de y. Mas ao resolver em termos de y obtemos:

$y^2=1-x^2$

$y=\pm \sqrt{1-x^2}$

Ou seja, $y^2+x^2=1$ é uma forma implícita de definirmos tanto a função $y=\sqrt{1-x^2}$ como a função $y=-\sqrt{1-x^2}$. Muitas vezes, não é sequer possível obter uma forma explícita de $y$ em relação a $x$, como no caso da equação $x^3+y^3=6xy$.

Diferenciação implícita

Quando temos uma função implícita e precisamos derivá-la, o que devemos fazer? Devemos derivar tudo em relação à variável dependente. Isso significa que, se quisermos derivar $y^2+x^2=1$ em relação a $x$, faremos as derivadas levando em conta a variável dependente como $x$. Já se quisermos derivar em relação a $y$, tomaremos a variável dependente como sendo $y$.

Exemplo:

Derivemos a função em relação a x.

$y^2+x^2=1$

$\frac{d}{dx}{y}^2+\frac{d}{dx}{x}^2=\frac{d}{dx}1$

Ao derivarmos $y^2$ temos de ter o cuidado de que nosso $y$ é a função em si, ou seja, ele é a variável que representa toda a função. Temos então de usar a Regra da cadeia nele.

$2y\frac{dy}{dx}+\frac{d}{dx}{x}^2=\frac{d}{dx}1$

Deriva-se o restante normalmente

$2y\frac{dy}{dx}+2x=0$

Isolamos o quociente de diferenciais que representa a derivada

$\frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{2y}$

Simplificamos e obtemos finalmente a derivada.

$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$

A ideia ao realizarmos a diferenciação implícita é justamente derivarmos sempre em relação à variável independente e, ao nos depararmos com a variável dependente, trabalharmos a mesma com a regra da cadeia, já que ela representa uma função, isto é, ao derivarmos $x^2$ estamos derivando simplesmente o quadrado da variável dependente, mas ao derivarmos $y^2$, estamos derivando a função contida nessa variável, a função que a variável representa, ou seja, $\pm \sqrt{1-x^2}$.

Isolar $y$ nem sempre é uma tarefa fácil. Por isso, recorremos à diferenciação implícita. Ao derivarmos esse $y$, estamos justamente aplicando a regra da cadeia, ou seja:

$\frac{d}{dx}{y}^n=n{y}^{n-1}\frac{dy}{dx}$

Exemplos

Funções inversas

Funções implícitas normalmente surgem como um meio de descrever a noção de uma função inversa. Se f é uma função, então a função inversa de f é uma solução da equação

$x=f(y)⟹y=f^{-1}(x)$

para y em termos de x. Intuitivamente, uma função inversa é obtida de f por intercambiar-se os papeis das variáveis dependente e independente. Dito de outra forma, a função inversa é a solução y da equação

$R(x,y)=x-f(y)=0.$

Exemplos.

1. O logaritmo natural y = ln(x) é a solução da equação x − e^y = 0.
2. O log-produto é uma função implícita dada por x − y e^y = 0.

Funções algébricas

Uma função algébrica é uma solução y para uma equação R(x,y) = 0 onde R é um polinômio de duas variáveis. Funções algébricas desempenham um importante papel em análise matemática e geometria algébrica. Um exemplo simples de uma função algébrica é dada pelo círculo unitário:

$x^2+y^2-1=0$

Resolvendo para y tem-se

$y=\pm \sqrt{1-x^2}$

Note-se que há dois "ramos" para a função implícita: um onde o sinal é positivo e o outro onde ela é negativa. Ambos os ramos são considerados como pertencentes à função implícita. Deste modo, funções implícitas podem ser de múltiplos valores.