Fórmula do somatório de Poisson

A fórmula de soma de Poisson (às vezes chamada de retomada de Poisson ) é uma identidade entre duas somas infinitas, a primeira construída com uma função Predefinição:Math, a segunda com sua transformada de Fourier $\hat{f}$. Aqui, Predefinição:Math é uma função na linha real ou mais geralmente em um espaço euclidiano . A fórmula foi descoberta por Siméon Denis Poisson . Ela, e suas generalizações, são importantes em várias áreas da matemática, incluindo teoria dos números, análise harmônica e geometria Riemanniana . Uma das maneiras de interpretar a fórmula unidimensional é ver uma relação entre o espectro do operador Laplace-Beltrami no círculo e os comprimentos da geodésica periódica nessa curva. A fórmula dos traços de Selberg, na interface de todos os domínios mencionados acima e também da análise funcional, estabelece uma relação do mesmo tipo, mas com um caráter muito mais profundo, entre o espectro Laplaciano e os comprimentos da geodésica na região de superfícies com curvatura constante negativa (enquanto as fórmulas de Poisson na dimensão Predefinição:Math estão relacionadas ao Laplaciano e à geodésica periódica dos toros, espaços de curvatura zero).

Fórmula do somatório de Poisson

Convenção

Para qualquer função Predefinição:Math a valores complexos e integrados em ℝ, é chamada transformada de Fourier de Predefinição:Math a aplicação

$\hat{f}$

definido por

$\mathrm{\forall }x\in ℝ\hat{f}(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}xt}\mathrm{d}t.$

Teorema

Seja Predefinição:Math número real positivo e Predefinição:Math

Se Predefinição:Math é uma função contínua de ℝ in ℂ e integrável de modo que

$\mathrm{\exists }C>0$ , $\mathrm{\exists }\alpha >1$ ,  $\mathrm{\forall }x\in ℝ$ , $|f(x)|\le \frac{C}{(1+|x|{)}^{\alpha }}$

e

$\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|\hat{f}(m{\omega }_0)|<\mathrm{\infty }$

então

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t+na)=\frac{1}{a}\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\hat{f}(m{\omega }_0){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}m{\omega }_{0}t}.$

Demonstração

O lado esquerdo da fórmula é a soma S de uma série de funções contínuas. A primeira das duas hipóteses em Predefinição:Math implica que esta série normalmente converge para qualquer parte delimitada de ℝ. Portanto, sua soma é uma função contínua. Além disso, S é [[Função periódica|Predefinição:Math periódico]] por definição. Podemos, portanto, calcular os coeficientes complexos de sua série de Fourier:

$c_m=\frac{1}{a}\underset{0}{\overset{a}{\int }}S(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}m{\omega }_{0}t}\mathrm{d}t=\frac{1}{a}\sum _{n\in \mathbb{Z}}\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(t+na){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}m{\omega }_{0}t}\mathrm{d}t$

A reversão integral em série sendo justificada pela convergência normal da série que define S. Deduzimos

$c_m=\frac{1}{a}\sum _{n\in \mathbb{Z}}\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(t+na){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}m{\omega }_0(t+na)}\mathrm{d}t=\frac{1}{a}\sum _{n\in \mathbb{Z}}\underset{na}{\overset{(n+1)a}{\int }}f(s){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}m{\omega }_{0}s}\mathrm{d}s=\frac{1}{a}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(s){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}m{\omega }_{0}s}\mathrm{d}s=\frac{1}{a}\hat{f}(m{\omega }_0).$

De acordo com a segunda hipótese em Predefinição:Math, a série de cm é, portanto, absolutamente convergente . Somando a série Fourier de S, obtemos $S(t)=\sum _{m\in \mathbb{Z}}{c}_m{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}mt{\omega }_0}=\frac{1}{a}\sum _{m\in \mathbb{Z}}\hat{f}(m{\omega }_0){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}mt{\omega }_0}.$

Convenção alternativa

Se as seguintes convenções forem usadas  :

$f(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\tilde{F}(\nu ){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}2\pi x\nu }\mathrm{d}\nu ,$

$\tilde{F}(\nu )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x){\mathrm{e}}^{+\mathrm{i}2\pi x\nu }\mathrm{d}x,$

então a fórmula da soma de Poisson é reescrita (com Predefinição:Math e Predefinição:Math )  :

$\sum _{n\in \mathbb{Z}}f(n)=\sum _{m\in \mathbb{Z}}\tilde{F}(m).$

Sobre as condições de convergência

Uma maneira prática de superar as condições de regularidade impostas à função Predefinição:Math é colocar-se no contexto mais geral da teoria das distribuições . Se notarmos

$\delta (x)$

a distribuição Dirac, se introduzirmos a seguinte distribuição  :

$\mathrm{\Delta }(x)\equiv \sum _{n\in \mathbb{Z}}\delta (x-n),$

uma maneira elegante de reformular a soma é dizer que

$\mathrm{\Delta }(x)$

é sua própria transformação de Fourier.

Aplicações da retomada de Poisson

Os exemplos mais básicos dessa fórmula são usados para determinar somas simples de números inteiros  :

$S\equiv \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6},$

ou mesmo  :

$S\equiv -\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n^4}=\frac{7{\pi }^4}{720}.$

Nós os convertemos em séries geométricas que podem ser somadas com precisão.

Em geral, a retomada de Poisson é útil na medida em que uma série que converge lentamente no espaço direto pode ser transformada em uma série que converge muito mais rapidamente no espaço de Fourier (se usarmos o exemplo de Funções gaussianas, uma lei normal de grande variação no espaço direto é convertida em uma lei normal de pequena variação no espaço de Fourier). Essa é a ideia essencial por trás da soma de Ewald .

Interpretação geométrica

Definições

O círculo, ou toro T em uma dimensão, é uma curva compacta que pode ser representada como o espaço quociente da linha euclidiana ℝ por um subgrupo discreto a ℤ do grupo das isométricas  :

$T=ℝ/a\mathbb{Z}.$

Geodésicas periódicas

As geodésicas periódicas do toro plano tem comprimentos dados por:

$l_n=na,n\in \mathbb{N}.$

Espectro do operador Laplace-Beltrami

Considere o operador Laplace-Beltrami em T  :

$\mathrm{\Delta }u(x)=\frac{{\mathrm{d}}^{2}u(x)}{\mathrm{d}{x}^2}.$

Vamos procurar em particular seus autovalores

${\lambda }_n$

, soluções da equação com autovalores  :

$-\mathrm{\Delta }{u}_n(x)={\lambda }_n{u}_n(x).$

onde as funções próprias

$u_n$

estão

$C^{\mathrm{\infty }}(ℝ)$

e verifique a condição da periodicidade  :

$\mathrm{\forall }p\in \mathbb{Z}{u}_n(x+pa)=u_n(x).$

Esses autovalores formam um todo contável que pode ser classificado em uma sequência crescente  :

$0={\lambda }_0<{\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \cdots ,{\lambda }_n=\frac{4{\pi }^2{n}^2}{a^2}.$

Generalizações

Podemos facilmente formular uma generalização dessa fórmula na dimensão Predefinição:Math . Dada uma rede

$\mathrm{\Lambda }\subset {ℝ}^n$

então podemos definir a rede dupla

${\mathrm{\Lambda }}^{\prime }$

(como formas no espaço vetorial duplo com valores inteiros em

$\mathrm{\Lambda }$

ou através da dualidade de Pontryagin ). Portanto, se considerarmos a distribuição de Dirac multidimensional, ainda notamos

$\delta (x)$

com

$x\in {ℝ}^n$

, podemos definir a distribuição

${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Lambda }}(x)=\sum _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\delta (x-\lambda ).$

Desta vez, obtemos uma fórmula de soma de Poisson observando que a transformada de Fourier de

${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Lambda }}(x)$

é

${\mathrm{\Delta }}_{{\mathrm{\Lambda }}^{\prime }}(x)$

(considerando uma normalização apropriada da transformação de Fourier).

Essa fórmula é frequentemente usada na teoria das funções teta. Na teoria dos números, podemos generalizar ainda mais essa fórmula no caso de um grupo abeliano localmente compacto . Na análise harmônica não comutativa, essa ideia é levada ainda mais longe e leva à fórmula dos traços de Selberg e assume um caráter muito mais profundo.

Um caso especial é o de grupos abelianos finitos, para os quais a fórmula da soma de Poisson é imediata ( cf. Análise harmônica em um grupo abeliano finito ) e tem muitas aplicações teóricas em aritmética e aplicada, por exemplo, em teoria de códigos e criptografia ( cf. Função booleana ).

Bibliografia

• Predefinição:((en)) Matthew R. Watkins, « D. Bump's notes on the Poisson Summation Formula » (page personnelle)