Lagrangiana de Darwin

A lagrangiana de Darwin (nomeado em homenagem a Charles Galton Darwin, neto do naturalista) descreve a interação que conduz a $v^{2} / c^{2}$ entre duas partículas carregadas no vácuo, em que c é a velocidade da luz. Foi derivado antes do advento da mecânica quântica e resultou de uma investigação mais detalhada das interações eletromagnéticas clássicas dos elétrons em um átomo. A partir do modelo de Bohr sabia-se que eles deveriam estar se movendo com velocidades próximas à da luz.^[1]

A lagrangiana completa para duas partículas em interação é

$L = L_{f} + L_{int},$ onde a parte da partícula livre é $L_{f} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{8 c^{2}} m_{1} v_{1}^{4} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} + \frac{1}{8 c^{2}} m_{2} v_{2}^{4},$ A interação é descrita como $L_{int} = L_{C} + L_{D},$ onde a interação de Coulomb em unidades gaussianas é $L_{C} = - \frac{q_{1} q_{2}}{r},$ enquanto a interação de Darwin é $L_{D} = \frac{q_{1} q_{2}}{r} \frac{1}{2 c^{2}} 𝐯_{1} \cdot [𝟏 + \hat{𝐫} \hat{𝐫}] \cdot 𝐯_{2} .$ Aqui Predefinição:Math e Predefinição:Math são as cargas nas partículas 1 e 2, respectivamente, Predefinição:Math e Predefinição:Math são as massas das partículas, Predefinição:Math e Predefinição:Math são as velocidades das partículas, Predefinição:Math é a velocidade da luz, Predefinição:Math é o vetor entre as duas partículas, e $\hat{𝐫}$ é o vetor unitário na direção de Predefinição:Math.

A primeira parte é a expansão de Taylor da lagrangiana livre de duas partículas relativísticas de segunda ordem em v. O termo de interação de Darwin é devido a uma partícula reagindo ao campo magnético gerado pela outra partícula. Se termos de ordem superior em Predefinição:Math forem retidos, então os graus de liberdade do campo devem ser levados em consideração, e a interação não pode mais ser considerada instantânea entre as partículas. Nesse caso, os efeitos de retardo devem ser levados em conta.^[2]Predefinição:Rp

Derivação no vácuo

A interação relativística lagrangiana para uma partícula com carga q interagindo com um campo eletromagnético é^[2]Predefinição:Rp $L_{int} = - q Φ + \frac{q}{c} 𝐮 \cdot 𝐀,$ onde Predefinição:Math é a velocidade relativística da partícula. O primeiro termo à direita gera a interação de Coulomb. O segundo termo gera a interação de Darwin.

O vetor potencial in the calibre de Coulomb é descrito por^[2]Predefinição:Rp $\nabla^{2} 𝐀 - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} 𝐀}{\partial t^{2}} = - \frac{4 π}{c} 𝐉_{t}$ onde a corrente transversal Predefinição:Math é a corrente solenoidal (ver decomposição de Helmholtz) gerado por uma segunda partícula. A divergência da corrente transversal é zero.

A corrente gerada pela segunda partícula é $𝐉 = q_{2} 𝐯_{2} δ (𝐫 - 𝐫_{2}),$ a qual tem uma transformada de Fourier $𝐉 (𝐤) \equiv \int d^{3} r \exp (- i 𝐤 \cdot 𝐫) 𝐉 (𝐫) = q_{2} 𝐯_{2} \exp (- i 𝐤 \cdot 𝐫_{2}) .$

A componente transversal da corrente é $𝐉_{t} (𝐤) = q_{2} [𝟏 - \hat{𝐤} \hat{𝐤}] \cdot 𝐯_{2} e^{- i 𝐤 \cdot 𝐫_{2}} .$

É facilmente verificado que $𝐤 \cdot 𝐉_{t} (𝐤) = 0,$ o qual deve ser verdadeiro se a divergência da corrente transversal for zero. Vemos que $𝐉_{t} (𝐤)$ é a componente da corrente transformada de Fourier perpendicular a Predefinição:Math.

Da equação do potencial vetorial, a transformada de Fourier do potencial vetorial é $𝐀 (𝐤) = \frac{4 π}{c} \frac{q_{2}}{k^{2}} [𝟏 - \hat{𝐤} \hat{𝐤}] \cdot 𝐯_{2} e^{- i 𝐤 \cdot 𝐫_{2}}$ onde mantivemos apenas o termo de ordem mais baixa em Predefinição:Math.

A transformada inversa de Fourier do potencial vetorial é $𝐀 (𝐫) = \int \frac{d^{3} k}{{(2 π)}^{3}} 𝐀 (𝐤) e^{i 𝐤 \cdot 𝐫_{1}} = \frac{q_{2}}{2 c} \frac{1}{r} [𝟏 + \hat{𝐫} \hat{𝐫}] \cdot 𝐯_{2}$ onde $𝐫 = 𝐫_{1} - 𝐫_{2}$

O termo da interação de Darwin na lagrangiana é então $L_{D} = \frac{q_{1} q_{2}}{r} \frac{1}{2 c^{2}} 𝐯_{1} \cdot [𝟏 + \hat{𝐫} \hat{𝐫}] \cdot 𝐯_{2}$ onde novamente mantivemos apenas o termo de menor ordem em Predefinição:Math.

Equações lagrangianas de movimento

A equação de movimento de uma das partículas é $\frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial 𝐯_{1}} L (𝐫_{1}, 𝐯_{1}) = \nabla_{1} L (𝐫_{1}, 𝐯_{1})$ $\frac{d 𝐩_{1}}{d t} = \nabla_{1} L (𝐫_{1}, 𝐯_{1})$ onde Predefinição:Math é o momento da partícula.

Partícula livre

A equação de movimento para uma partícula livre desprezando as interações entre as duas partículas é $\frac{d}{d t} [(1 + \frac{1}{2} \frac{v_{1}^{2}}{c^{2}}) m_{1} 𝐯_{1}] = 0$ $𝐩_{1} = (1 + \frac{1}{2} \frac{v_{1}^{2}}{c^{2}}) m_{1} 𝐯_{1}$

Partículas interagindo

Para partículas em interação, a equação de movimento torna-se $\frac{d}{d t} [(1 + \frac{1}{2} \frac{v_{1}^{2}}{c^{2}}) m_{1} 𝐯_{1} + \frac{q_{1}}{c} 𝐀 (𝐫_{1})] = - \nabla \frac{q_{1} q_{2}}{r} + \nabla [\frac{q_{1} q_{2}}{r} \frac{1}{2 c^{2}} 𝐯_{1} \cdot [𝟏 + \hat{𝐫} \hat{𝐫}] \cdot 𝐯_{2}]$ $\frac{d 𝐩_{1}}{d t} = \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}} \hat{𝐫} + \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}} \frac{1}{2 c^{2}} {𝐯_{1} (\hat{𝐫} \cdot 𝐯_{2}) + 𝐯_{2} (\hat{𝐫} \cdot 𝐯_{1}) - \hat{𝐫} [𝐯_{1} \cdot (𝟏 + 3 \hat{𝐫} \hat{𝐫}) \cdot 𝐯_{2}]}$ $𝐩_{1} = (1 + \frac{1}{2} \frac{v_{1}^{2}}{c^{2}}) m_{1} 𝐯_{1} + \frac{q_{1}}{c} 𝐀 (𝐫_{1})$ $𝐀 (𝐫_{1}) = \frac{q_{2}}{2 c} \frac{1}{r} [𝟏 + \hat{𝐫} \hat{𝐫}] \cdot 𝐯_{2}$ $𝐫 = 𝐫_{1} - 𝐫_{2}$

Hamiltoniana para duas partículas no vácuo

A hamiltoniana de Darwin para duas partículas no vácuo está relacionado à lagrangiana por uma transformada de Legendre, isto é, $H = 𝐩_{1} \cdot 𝐯_{1} + 𝐩_{2} \cdot 𝐯_{2} - L .$

A hamiltoniana torna-se $H (𝐫_{1}, 𝐩_{1}, 𝐫_{2}, 𝐩_{2}) = (1 - \frac{1}{4} \frac{p_{1}^{2}}{m_{1}^{2} c^{2}}) \frac{p_{1}^{2}}{2 m_{1}} + (1 - \frac{1}{4} \frac{p_{2}^{2}}{m_{2}^{2} c^{2}}) \frac{p_{2}^{2}}{2 m_{2}} + \frac{q_{1} q_{2}}{r} - \frac{q_{1} q_{2}}{r} \frac{1}{2 m_{1} m_{2} c^{2}} 𝐩_{1} \cdot [𝟏 + \hat{𝐫} \hat{𝐫}] \cdot 𝐩_{2} .$

Essa hamiltoniana fornece a energia de interação entre as duas partículas. Argumentou-se recentemente que, quando expressas em termos de velocidades de partículas, deveríamos simplesmente definir $𝐩 = m 𝐯$ no último termo e inverter seu sinal.^[3]

Equações de movimento

As equações de movimento hamiltonianas são $𝐯_{1} = \frac{\partial H}{\partial 𝐩_{1}}$ e $\frac{d 𝐩_{1}}{d t} = - \nabla_{1} H,$ a qual resulta $𝐯_{1} = (1 - \frac{1}{2} \frac{p_{1}^{2}}{m_{1}^{2} c^{2}}) \frac{𝐩_{1}}{m_{1}} - \frac{q_{1} q_{2}}{2 m_{1} m_{2} c^{2}} \frac{1}{r} [𝟏 + \hat{𝐫} \hat{𝐫}] \cdot 𝐩_{2}$ e $\frac{d 𝐩_{1}}{d t} = \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}} \hat{𝐫} + \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}} \frac{1}{2 m_{1} m_{2} c^{2}} {𝐩_{1} (\hat{𝐫} \cdot 𝐩_{2}) + 𝐩_{2} (\hat{𝐫} \cdot 𝐩_{1}) - \hat{𝐫} [𝐩_{1} \cdot (𝟏 + 3 \hat{𝐫} \hat{𝐫}) \cdot 𝐩_{2}]}$

Eletrodinâmica quântica

A estrutura da interação de Darwin também pode ser vista claramente em eletrodinâmica quântica e devido à troca de fótons na ordem mais baixa de teoria da perturbação. Quando o fóton tem quadrimomento Predefinição:Nowrap com vetor de onda Predefinição:Nowrap seu propagador no calibre de Coulomb tem dois componentes.^[4]

D_{00} (k) = \frac{1}{𝐤^{2}}

resulta na interação de Coulomb entre duas partículas carregadas, enquanto

D_{i j} (k) = \frac{1}{ω^{2} - c^{2} 𝐤^{2}} (δ_{i j} - \frac{k_{i} k_{j}}{𝐤^{2}})

descreve a troca de um fóton transversal. Tem um vetor de polarização $𝐞_{λ}$ e acopla-se a uma partícula com carga $q$ e trimomento $𝐩$ com uma força $- q \sqrt{4 π} 𝐞_{λ} \cdot 𝐩 / m .$ Dado que $𝐞_{λ} \cdot 𝐤 = 0$ neste calibre, não importa se usamos o momento da partícula antes ou depois do fóton se acoplar a ela.

Na troca do fóton entre as duas partículas, pode-se ignorar a frequência $ω$ comparada com $c 𝐤$ no propagador trabalhando com a precisão em $v^{2} / c^{2}$ que é necessária aqui. As duas partes do propagador então resultam juntas a hamiltoniana efetiva

H_{i n t} (𝐤) = \frac{4 π q_{1} q_{2}}{𝐤^{2}} - \frac{4 π q_{1} q_{2}}{m_{1} m_{2} c^{2} 𝐤^{2}} 𝐩_{1} \cdot (𝟏 - \hat{𝐤} \hat{𝐤}) \cdot 𝐩_{2}

por sua interação no espaço k. Isto é agora idêntico ao resultado clássico e não há vestígios dos efeitos quânticos usados nesta derivação.

Um cálculo semelhante pode ser feito quando o fóton se acopla a partículas de Dirac com spin Predefinição:Nowrap e usado para uma derivação da equação de Breit. Isso resulta o mesmo que a interação de Darwin mas também termos adicionais envolvendo os graus de liberdade do spin e dependendo da constante de Planck.^[4]

Ver também

Teoria do absorvedor de Wheeler e Feynman

Predefinição:Referências

↑ C.G. Darwin, The Dynamical Motions of Charged Particles, Philosophical Magazine 39, 537-551 (1920).
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Predefinição:Citar livro
↑ K.T. McDonald, Darwin Energy Paradoxes, Princeton University (2019).
↑ ^4,0 ^4,1 V. B. Berestetskii, E. M. Lifshitz, and L. P. Pitaevskii, Relativistic Quantum Theory, Pergamon Press, Oxford (1971).

[Darwin-1] C.G. Darwin, The Dynamical Motions of Charged Particles, Philosophical Magazine 39, 537-551 (1920).

[Jackson-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Predefinição:Citar livro

[Kirk-3] K.T. McDonald, Darwin Energy Paradoxes, Princeton University (2019).

[BLP-4] 4,0 ^4,1 V. B. Berestetskii, E. M. Lifshitz, and L. P. Pitaevskii, Relativistic Quantum Theory, Pergamon Press, Oxford (1971).

[1]

[2]

[3]

[4]

Lagrangiana de Darwin

Índice

Derivação no vácuo

Equações lagrangianas de movimento

Partícula livre

Partículas interagindo

Hamiltoniana para duas partículas no vácuo

Equações de movimento

Eletrodinâmica quântica

Ver também

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Lagrangiana de Darwin

Derivação no vácuo

Equações lagrangianas de movimento

Partícula livre

Partículas interagindo

Hamiltoniana para duas partículas no vácuo

Equações de movimento

Eletrodinâmica quântica

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