Logaritmo de uma matriz

Na matemática, o logaritmo de uma matriz é uma outra matriz cuja exponenciação é igual à matriz inicial; é portanto, uma generalização do conceito habitual de logaritmo como simplesmente o inverso da função exponencial. Porém há algumas restrições e propriedades das matrizes para tal contexto: a matriz tem logaritmo se e somente se for invertível e seu logaritmo pode ser uma matriz complexa mesmo que todos os seus elementos são números reais.

Definição

Uma matriz B é o logaritmo de uma matriz dada como A se a exponenciação de B é A:

$e^B=A.$

Cálculo

Matriz diagonalizável

Um método para encontrar ln(A) para uma matriz diagonalizável é feito da seguinte maneira:

• Encontra-se a matriz V de valores próprios de A (cada coluna de V é um autovetor de A)
• Encontra-se a matriz inversa de V, V⁻¹.
• Seja

$A^{\prime }=V^{-1}AV.$

• Então, A' será uma matriz diagonal em que os elementos na diagonal são os autovalores de A.
• Substitui-se cada elemento de A' por seu logaritmo natural para obter ln(A').

$\ln A=V(\ln A^{\prime })V^{-1}.$

Matriz não diagonalizável

O algoritmo acima não diagonalizável não funciona para matrizes não diagonalizável, tal como:

$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right].$

Neste tipo de matrizes, precisa encontrar a forma canônica de Jordan e, além de calcular os logaritmos da diagonal como ocorre na matriz diagonalizável, é necessário calcular o logaritmo dos elementos da matriz de Jordan. O último é conseguido ao notar que um pode escrever um bloco de Jordan como:

$B=\left(\begin{array}{cccccc}\lambda & 1& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& \lambda & 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& \lambda & 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \lambda & 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& \lambda \end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{cccccc}1& {\lambda }^{-1}& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& {\lambda }^{-1}& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& {\lambda }^{-1}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& 0& 1& {\lambda }^{-1}\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)=\lambda (I+K)$,

onde K é uma matriz com zero e abaixo da diagonal.

Então, pela fórmula

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$

se obtém

$\ln B=\ln (\lambda (I+K))=\ln (\lambda I)+\ln (I+K)=(\ln \lambda )I+K-\frac{K^2}{2}+\frac{K^3}{3}-\frac{K^4}{4}+\cdots$

Esta série, em geral, não converge para nenhuma matriz K, como tampouco o faz para um número real com valor absoluto maior que a unidade. Entretanto, esta matriz K, em particular, é uma matriz nilpotente, portanto a série tem um número finito de termos (K^m é zero se m é a dimensão de K).

Utilizando este enfoque, se encontra:

$\ln \left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right].$