Matriz nilpotente

Em álgebra linear, uma matriz nilpotente é uma matriz quadrada N tal que

$$N^k=0$$

para algum número inteiro positivo $k.$ O menor valor $k$ satisfazendo a condição anterior é chamado de índice de $N,$ e às vezes de grau de $N.$

Mais geralmente, uma transformação nilpotente é uma transformação linear $L$ de um espaço vetorial tal que $L^k=0$ para algum número inteiro positivo $k$ (e assim, $L^j=0$ para todo $j\ge k$) Ambos os conceitos são casos especiais de um conceito mais geral de nilpotência que se aplica a elementos de anéis.

Exemplos

Exemplo 1

A matriz

$$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$$

é nilpotente com índice 2, uma vez que$A^2=0.$

Exemplo 2

Mais geralmente, qualquer matriz triangular de ordem $n$ com zeros ao longo da diagonal principal é nilpotente, com índice $\le n.$ Por exemplo, a matriz

$$B=\left[\begin{array}{cccc}0& 2& 1& 6\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

é nilpotente, com

$$B^2=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 2& 7\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right];:B^3=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 6\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right];:B^4=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right].$$

O índice de $B$ é, portanto, igual 4.

Exemplo 3

Embora os exemplos acima tenham um grande número de entradas nulas, uma matriz nilpotente típica não tem. Por exemplo,

$$C=\left[\begin{array}{ccc}5& -3& 2\\ 15& -9& 6\\ 10& -6& 4\end{array}\right]C^2=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

embora a matriz não tenha entradas nulas.

Exemplo 4

Além disso, quaisquer matrizes da forma

$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_1& \cdots & a_1\\ a_2& a_2& \cdots & a_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ -a_1-a_2-\dots -a_{n-1}& -a_1-a_2-\dots -a_{n-1}& \dots & -a_1-a_2-\dots -a_{n-1}\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{ccc}5& 5& 5\\ 6& 6& 6\\ -11& -11& -11\end{array}\right]$$

ou

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& 2& 2& 2\\ 4& 4& 4& 4\\ -7& -7& -7& -7\end{array}\right]$$

têm quadrado nulo.

Exemplo 5

Talvez alguns dos exemplos mais marcantes de matrizes nilpotentes sejam as matrizes quadradas $n\times n$ da forma:

$$\left[\begin{array}{ccccc}2& 2& 2& \cdots & 1-n\\ n+2& 1& 1& \cdots & -n\\ 1& n+2& 1& \cdots & -n\\ 1& 1& n+2& \cdots & -n\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\end{array}\right]$$

As primeiras de tais matrizes são as seguintes:

$$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 4& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2& 2& -2\\ 5& 1& -3\\ 1& 5& -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}2& 2& 2& -3\\ 6& 1& 1& -4\\ 1& 6& 1& -4\\ 1& 1& 6& -4\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccccc}2& 2& 2& 2& -4\\ 7& 1& 1& 1& -5\\ 1& 7& 1& 1& -5\\ 1& 1& 7& 1& -5\\ 1& 1& 1& 7& -5\end{array}\right]\dots$$

Essas matrizes são nilpotentes, mas não há qualquer entrada nula em nenhuma potência com expoente menor do que o índice.

Caracterização

Para uma matriz $N$ quadrada, de ordem $n\times n,$ com entradas reais (ou complexas), as seguintes afirmações são equivalentes:

• $N$é nilpotente.
• O polinômio característico de $N$ é$\det (xI-N)=x^n.$
• O polinômio minimal de $N$ é $x^k$ para algum número inteiro positivo $k\le n.$
• O único autovalor complexo de $N$ é 0.
• tr(N^k) = 0 para todo $k>0.$

O último teorema é verdadeiro para matrizes sobre qualquer corpo de característica 0, ou de característica suficientemente grande. (cf. Identidades de Newton)

Este teorema tem várias consequências, incluindo:

• O índice de um$n\times n$ matriz nilpotente de ordem n é sempre menor ou igual a$n$ n. Por exemplo, toda matriz nilpotente de ordem $2\times 2$ tem quadrado nulo.
• O determinante e o traço de uma matriz nilpotente são sempre zero. Consequentemente, uma matriz nilpotente não pode ser invertida.
• A única matriz diagonalizável nilpotente é a matriz nula.

Classificação

Considere a matriz de deslocamento:

$$S=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \dots & 0\\ 0& 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & 1\\ 0& 0& 0& \dots & 0\end{array}\right].$$

Essa matriz tem 1s ao longo da superdiagonal e 0s em todas as outras entradas. Como uma transformação linear, a matriz de deslocamento "desloca" os componentes de um vetor uma posição para a esquerda, com um zero aparecendo na última posição:

$$S(x_1,x_2,\dots ,x_n)=(x_2,\dots ,x_n,0).$$

Esta matriz é nilpotente com grau $n$, e é a matriz nilpotente canônica.

Especificamente, se $N$ é qualquer matriz nilpotente, então $N$ é semelhante a uma matriz diagonal em blocos da forma

$$\left[\begin{array}{cccc}{S}_1& 0& \dots & 0\\ 0& S_2& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & S_r\end{array}\right]$$

em que cada um dos blocos $S_1,S_2,\dots ,S_r$ é uma matriz de deslocamento (possivelmente de tamanhos diferentes). Essa forma é um caso especial da forma canônica de Jordan para matrizes.

Por exemplo, qualquer matriz nilpotente não nula de ordem 2 × 2 é semelhante à matriz

$$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right].$$

Em outras palavras, se $N$ é qualquer matriz 2 × 2 nilpotente não nula, então existe uma base b₁, b_{2 de} modo que Nb₁ = 0 e Nb₂ = b₁ .

Este teorema de classificação vale para matrizes sobre qualquer corpo. (Não é necessário que o corpo seja algebricamente fechado.)

Bandeira de subespaços

Uma transformação nilpotente $L$ em ${ℝ}^n$ determina naturalmente uma bandeira de subespaços

$$\{0\}\subset \ker L\subset \ker L^2\subset \dots \subset \ker L^{q-1}\subset \ker L^q={ℝ}^n$$

e uma assinatura

$$0=n_0<n_1<n_2<\dots <n_{q-1}<n_q=n,n_i=\dim \ker L^i.$$

A assinatura caracteriza $L$ salvo por uma transformação linear invertível. Além disso, ela satisfaz as desigualdades

$$n_{j+1}-n_j\le n_j-n_{j-1},\text{para todo }j=1,\dots ,q-1.$$

Reciprocamente, qualquer sequência de números naturais que satisfaça essas desigualdades é a assinatura de alguma transformação nilpotente.

Propriedades adicionais

• Se $N$ é nilpotente, então $I+N$ e $I-N$ são invertíveis, onde $I$ é a matriz identidade. Os inversos são dados por$$\begin{array}{cc}(I+N{)}^{-1}& =\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{(-N)}^m=I-N+N^2-N^3+N^4-N^5+N^6-N^7+\cdots ,\\ (I-N{)}^{-1}& =\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{N}^m=I+N+N^2+N^3+N^4+N^5+N^6+N^7+\cdots \\ \end{array}$$Desde que $N$ seja nilpotente, ambas as somas convergem, visto que apenas um número finito de termos é diferente de zero.
• Se $N$ é nilpotente, então $$\det (I+N)=1,$$ em que $I$ denota a $n\times n$matriz identidade. Por outro lado, se $A$ é uma matriz e $$\det (I+tA)=1$$ para todos os valores de $t,$ então$A$ é nilpotente. Na verdade, como $p(t)=\det (I+tA)-1$ é um polinômio de grau$n$ n, é suficiente que isso valha para $n+1$ valores distintos de $t.$
• Toda matriz singular pode ser escrita como um produto de matrizes nilpotentes.
• Uma matriz nilpotente é um caso especial de uma matriz convergente.

Generalizações

Um operador linear $T$ é localmente nilpotente se para cada vetor $v,$ existe algum $k\in \mathbb{N}$ tal que

$$T^k(v)=0.$$

Para operadores em um espaço vetorial de dimensão finita, a nilpotência local é equivalente à nilpotência.

Referências

• Predefinição:Citation
• Predefinição:Citation
• Predefinição:Citation

Ligações externas

• Nilpotent matrix e nilpotent transformation no PlanetMath Predefinição:En