Norma (matemática)

Uma circunferência centrada na origem de ${ℝ}^2$ relativa a três normas distintas

Em matemática, uma norma consiste em uma função que a cada vetor de um espaço vetorial associa um número real não-negativo. O conceito de norma está intuitivamente relacionado à noção geométrica de comprimento.

Definição

Dado um espaço vetorial $X$ sobre o corpo $𝕂$ dos números reais ou complexos, uma função $\Vert \cdot \Vert :X\to {ℝ}^{+}$ é chamada de norma se, para quaisquer $x,y\in X$ e todo $\alpha \in 𝕂:$

• $\Vert x\Vert =0\iff x=0_{{}_X}.$ Se esta condição não for atendida, a função será no máximo uma seminorma.
• $\Vert \alpha x\Vert =|\alpha |\Vert x\Vert$
• $\Vert x+y\Vert ⩽\Vert x\Vert +\Vert y\Vert$ (desigualdade triangular)

Se o espaço vetorial $X$ tem uma norma, ele passa a ser chamado de espaço normado, e denotado por $(X,\Vert \cdot \Vert ).$

Métrica e topologia induzida

Toda norma induz de forma natural uma métrica $d$ em $X$ cujos valores são dados por: $$d(x,y)=\Vert x-y\Vert .$$

Também induz uma topologia localmente convexa que é gerada por todas as bolas:

$$B(x_0,r)=\{x\in X:d(x,x_0)<r\},\mathrm{\forall }x\in X,\mathrm{\forall }r\in {ℝ}_{\mathbb{+}}$$

Normas equivalentes

Duas normas $\Vert \cdot {\Vert }_1$ e $\Vert \cdot {\Vert }_2$ sobre o mesmo espaço vetorial $X$ são ditas equivalentes se existirem constantes reais positivas $C_1$ e $C_2(C_1⩽C_2)$ tais que: $$C_1\Vert x{\Vert }_1⩽\Vert x{\Vert }_2⩽C_2\Vert x{\Vert }_1\mathrm{\forall }x\in X$$

Quando duas normas são equivalentes, elas induzem a mesma topologia.

Normas em espaços de dimensão finita

Seja $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n{x}_i{e}_i$ a representação de um vetor em ${ℝ}^n$ ou ${ℂ}^n.$

As normas canônicas definidas nestes espaços são as chamadas normas ${\ell }^p$:

• $\Vert x{\Vert }_p=(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p{)}^{\frac{1}{p}},1⩽p<\mathrm{\infty }$
• $\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{i\in \{1,\dots ,n\}}{\max }|x_i|$

O caso particular em que $p=2$ corresponde à norma euclidiana: $$\Vert x{\Vert }_2=(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}$$

Outras normas podem ainda ser definidas, no entanto, pode-se demonstrar que todas elas serão equivalentes.

Norma matricial

Predefinição:Artigo principal Se o espaço vetorial considerado é aquele formado pelas matrizes reais ou complexas de ordem $n\times m,$ denotado por $M^{n\times m},$ uma norma sobre esse espaço é chamada de norma matricial. Um exemplo de norma matricial é a norma 1, denotada $\Vert .{\Vert }_1$ definida como o máximo da soma módulo das entradas de cada linha, ou seja se $A={\left[a_{ij}\right]}_{r\times s}$ então a norma 1 da matriz $A$ é o número não negativo dado por $$\Vert A{\Vert }_1=\underset{i⩽r}{\max }\sum _{j=1}^s|a_{ij}|.$$

A norma 1 da matriz $A=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& -1\end{array}\right|,$ por exemplo, é $$\Vert A{\Vert }_1=\max \{|1|+|3|,|2|+|-1|\}=\max \{4,3\}=4.$$

Normas em espaços de dimensão infinita

Espaços L^P

Predefinição:AP As normas ${\ell }^p$ têm análogos em alguns espaços de dimensão infinita.

Produto interno

Predefinição:AP Se um espaço vetorial possui um produto interno, este pode definir uma norma, dada pelo produto interno do vetor com ele mesmo.Predefinição:Sfn $$\Vert v\Vert :=\sqrt{⟨v,v⟩}$$

Se uma norma provém de um produto interno, ela satisfaz a identidade do paralelogramo.Predefinição:Sfn

Referências

• SANTOS, José Carlos. Introdução à Topologia. Departamento de Matemática - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Junho de 2010, 171 páginas. Disponível em: <http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/Topologia.pdf>. Acesso em: 12 jan. 2010. Página 60.
• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citar livro

Ver também

• Produto interno
• Espaço de Banach
• Espaço euclidiano
• Espaço métrico
• Espaço vetorial topológico
• Funcional de Minkowski
• Semi-norma