Poliedro platônico inscrito em esfera

Um poliedro platônico está inscrito em uma esfera, quando todos os seus vértices tangenciam a superfície da esfera.

Dizer que a esfera está circunscrita ao poliedro platônico é uma possibilidade para descrever o mesmo conceito.

Medida do raio da esfera circunscrita ao poliedro platônico

Se $d$ é a medida da aresta do poliedro platônico, então é possível definir o valor do raio da esfera circunscrita ao poliedro em função de $d$.

Tetraedro inscrito em esfera

Tetraedro regular $ABCD$ inscrito em esfera.

Fixe $d$ como sendo a medida da aresta do tetraedro regular inscrito em uma esfera.

Seja $O$ o ponto central da esfera inscrita ao tetraedro. Logo, o segmento que se estende do ponto $O$ até um dos vértices do tetraedro será igual a medida do raio da esfera circunscrita a ele.

Sabendo que no tetraedro regular, a soma das distâncias de um ponto interior qualquer até as suas quatro faces é igual à altura do tetraedro, então vale que a soma das distâncias do ponto $O$ até cada uma das faces resulta no valor da altura $h$ do tetraedro. Logo, como cada uma dessas distâncias é igual a medida do raio $r$ da esfera inscrita, segue que

$4r=h$$\Rightarrow r=\frac{h}{4}.$

Como $h=\frac{\sqrt{6}}{3}d$, então

$r=\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}d}{4}$$\Rightarrow r=\frac{\sqrt{6}}{3\cdot 4}d$$\Rightarrow r=\frac{\sqrt{6}}{12}d.$

Mas observe que, $R+r=h$, ou seja

$R+r=h$$\Rightarrow R+\frac{\sqrt{6}}{12}d=\frac{\sqrt{6}}{3}d$$\Rightarrow R=\frac{\sqrt{6}}{3}d-\frac{\sqrt{6}}{12}d$$\Rightarrow R=\frac{4\sqrt{6}}{12}d-\frac{\sqrt{6}}{12}d$$\Rightarrow R=\frac{3\sqrt{6}}{12}d$$\Rightarrow R=\frac{\sqrt{6}}{4}d.$

Cubo inscrito em esfera

Seja $d$ a medida da aresta do cubo. O valor do raio $R$ da esfera circunscrita, será igual a metade do valor da diagonal do cubo. Logo, como a diagonal do cubo vale $d\sqrt{3}$, então $R=\frac{\sqrt{3}}{2}d.$

Octaedro inscrito em esfera

Seja $d$ a medida da aresta do octaedro regular. A medida do raio $R$ da esfera circunscrita é igual a metade do valor da diagonal do octaedro. Como a diagonal do octaedro regular vale $d\sqrt{2}$, segue que $R=\frac{\sqrt{2}}{2}d.$

Dodecaedro inscrito em esfera

Ilustração de dodecaedro regular inscrito em esfera.

Fixe $d$ como sendo a medida da aresta de um dodecaedro regular inscrito em uma esfera. A medida do raio $R$ da esfera circunscrita é dada por $R=\frac{\sqrt{3}}{4}(1+\sqrt{5})d$.

Icosaedro inscrito em esfera

Ilustração de icosaedro regular inscrito em esfera.

Defina $d$ como sendo o valor da medida da aresta de um icosaedro regular inscrito em uma esfera. A medida do raio $R$ da esfera circunscrita ao poliedro é dada por $R=\frac{1}{4}\sqrt{(10+2\sqrt{5})}d$.

Propriedades métricas dos poliedros platônicos

Seja $d$ a medida da aresta de um poliedro. A tabela seguinte agrupa os valores do raio da esfera circunscrita, além do volume de cada poliedro em função de $d$.

Poliedro	Raio da esfera circunscrita	Volume
Tetraedro	$\frac{\sqrt{6}}{4}d$	$\frac{\sqrt{2}}{12}{d}^3$
Cubo ou Hexaedro regular	$\frac{\sqrt{3}}{2}d$	$d^3$
Octaedro	$\frac{\sqrt{2}}{2}d$	$\frac{\sqrt{2}}{3}{d}^3$
Dodecaedro	$\frac{\sqrt{3}}{4}(1+\sqrt{5})d$	$\frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})d^3$
Icosaedro	$\frac{1}{4}\sqrt{(10+2\sqrt{5})}d$	$\frac{5}{12}(3+\sqrt{5})d^3$

Porcentagem do volume da esfera ocupado por poliedro platônico inscrito

Para determinar a porcentagem do volume da esfera ocupado por um poliedro platônico inscrito a ela, pode-se utilizar a fórmula do volume do poliedro (que está fixado na tabela de propriedades métricas dos poliedros platônicos) e o raio da esfera circunscrita ao poliedro para calcular o volume da esfera circunscrita.

A fórmula utilizada para calcular o volume da esfera é:

$V=\frac{4}{3}\cdot \pi R^3.$

Assim, o volume da esfera corresponderá a 100% do total e o volume do poliedro inscrito corresponderá à porcentagem ocupada que queremos descobrir (utilizaremos x).

É possível relacionar os volumes por meio da regra de três. Abaixo, seguem desenvolvidas as relações para os cinco poliedros platônicos:

• Tetraedro:

Para representar o volume do tetraedro, utilizaremos $V_1$, e para o volume da esfera circunscrita ao tetraedro, utilizaremos $V_2$:

$V_1=\frac{\sqrt{2}}{12}\cdot d^3$

$V_2=\frac{4\pi (\frac{\sqrt{6}\cdot d}{4}{)}^3}{3}\Rightarrow V_2=\frac{4\pi \left(\frac{6\sqrt{6}\cdot d^3}{64}\right)}{3}\Rightarrow V_2=\frac{4\pi \cdot 6\sqrt{6}\cdot d^3}{64\cdot 3}\Rightarrow V_2=\frac{\pi \sqrt{6}\cdot d^3}{8}.$

Assim, o volume da esfera ($V_2$) representa 100% e o volume do tetraedro ($V_1$) será representado por $x$.

Utilizando regra de três, tem-se:

$\frac{V_1}{V_2}=\frac{x}{100\mathrm{\%}}\Rightarrow 100\mathrm{\%}\cdot V_1=x\cdot V_2.$

Substituindo os valores obtidos para $V_1$ e $V_2$:

$100\mathrm{\%}\cdot V_1=x\cdot V_2$$\Rightarrow 100\mathrm{\%}\cdot \frac{\sqrt{2}}{12}\cdot d^3=x\cdot \frac{\pi \sqrt{6}\cdot d^3}{8}$$\Rightarrow \frac{100\mathrm{\%}\sqrt{2}\cdot d^3}{12}\cdot \frac{8}{\pi \sqrt{6}\cdot d^3}=x$$\Rightarrow \frac{8\cdot 100\mathrm{\%}\sqrt{2}\cdot d^3}{12\pi \sqrt{6}\cdot d^3}=x$$\Rightarrow \frac{200\mathrm{\%}}{3\pi \sqrt{3}}=x$$\Rightarrow \frac{200\mathrm{\%}\sqrt{3}}{3\pi \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=x$$\Rightarrow \frac{200\mathrm{\%}\sqrt{3}}{9\pi }=x.$

Utilizando $\pi \cong 3,14$ e $\sqrt{3}\cong 1,73$:

$\frac{200\mathrm{\%}\cdot 1,73}{9\cdot 3,14}\cong x$$\Rightarrow \frac{346\mathrm{\%}}{28,26}\cong x$$\Rightarrow 12,24\mathrm{\%}\cong x.$

• Cubo:

Fixemos $V_1$ para representar o volume do cubo e $V_2$ para representar o volume da esfera circunscrita ao cubo:

$V_1=d^3$

$V_2=\frac{4\pi (\frac{\sqrt{3}\cdot d}{2}{)}^3}{3}\Rightarrow V_2=\frac{4\pi \left(\frac{3\sqrt{3}\cdot d^3}{8}\right)}{3}\Rightarrow V_2=\frac{4\pi \cdot 3\sqrt{3}\cdot d^3}{8\cdot 3}\Rightarrow V_2=\frac{\pi \sqrt{3}\cdot d^3}{2}.$

Logo, se $V_2$ equivale a 100% do volume, então $V_1$ equivale a $x$ por cento.

Novamente, por meio de regra de três:

$\frac{V_1}{V_2}=\frac{x}{100\mathrm{\%}}\Rightarrow 100\mathrm{\%}\cdot V_1=x\cdot V_2.$

Substituindo $V_1$ e $V_2$:

$100\mathrm{\%}\cdot V_1=x\cdot V_2$$\Rightarrow 100\mathrm{\%}\cdot d^3=x\cdot \frac{\pi \sqrt{3}\cdot d^3}{2}$$\Rightarrow 100\mathrm{\%}\cdot d^3\cdot \frac{2}{\pi \sqrt{3}\cdot d^3}=x$$\Rightarrow \frac{200\mathrm{\%}\cdot d^3}{\pi \sqrt{3}\cdot d^3}=x$$\Rightarrow \frac{200\mathrm{\%}}{\pi \sqrt{3}}=x$$\Rightarrow \frac{200\mathrm{\%}\sqrt{3}}{\pi \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=x$$\Rightarrow \frac{200\mathrm{\%}\sqrt{3}}{3\pi }=x.$

Para $\pi \cong 3,14$ e $\sqrt{3}\cong 1,73$, conclui-se:

$\frac{200\mathrm{\%}\cdot 1,73}{3\cdot 3,14}\cong x$$\Rightarrow \frac{346\mathrm{\%}}{9,42}\cong x$$\Rightarrow 36,73\mathrm{\%}\cong x.$

• Octaedro:

Sendo o volume do octaedro representado por $V_1$ e o volume da esfera circunscrita ao octaedro representado por $V_2$:

$V_1=\frac{\sqrt{2}}{3}\cdot d^3$

$V_2=\frac{4\pi (\frac{\sqrt{2}\cdot d}{2}{)}^3}{3}\Rightarrow V_2=\frac{4\pi \left(\frac{2\sqrt{2}\cdot d^3}{8}\right)}{3}\Rightarrow V_2=\frac{4\pi \cdot 2\sqrt{2}\cdot d^3}{8\cdot 3}\Rightarrow V_2=\frac{\pi \sqrt{2}\cdot d^3}{3}.$

Como $V_1$ representa 100% do volume, então $V_2$ ocupará $x$ por cento do volume da esfera. Assim:

$\frac{V_1}{V_2}=\frac{x}{100\mathrm{\%}}\Rightarrow 100\mathrm{\%}\cdot V_1=x\cdot V_2.$

Novamente, substituindo $V_1$ e $V_2$:

$100\mathrm{\%}\cdot V_1=x\cdot V_2$$\Rightarrow 100\mathrm{\%}\cdot \frac{\sqrt{2}}{3}\cdot d^3=x\cdot \frac{\pi \sqrt{2}\cdot d^3}{3}$$\Rightarrow \frac{100\mathrm{\%}\cdot \sqrt{2}\cdot d^3}{3}\cdot \frac{3}{\pi \sqrt{2}\cdot d^3}=x$$\Rightarrow \frac{100\mathrm{\%}}{\pi }=x.$

Utilizando $\pi \cong 3,14$:

$\frac{100\mathrm{\%}}{3,14}\cong x$$\Rightarrow 31,85\mathrm{\%}\cong x.$

• Dodecaedro:

Agora, seja $V_1$ o volume do dodecaedro e $V_2$ o volume da esfera circunscrita ao dodecaedro:

$V_1=\frac{1}{4}\cdot (15+7\sqrt{5})\cdot d^3$

$V_2=\frac{4\pi \cdot (\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot (1+\sqrt{5})\cdot d{)}^3}{3}$$\Rightarrow V_2=\frac{4\pi \cdot (\frac{\sqrt{3}\cdot d}{4}+\frac{\sqrt{15}\cdot d}{4}{)}^3}{3}$$\Rightarrow V_2=\frac{4\pi \cdot (\frac{\sqrt{3}\cdot d}{4}+\frac{\sqrt{15}\cdot d}{4})\cdot (\frac{\sqrt{3}\cdot d}{4}+\frac{\sqrt{15}\cdot d}{4})\cdot (\frac{\sqrt{3}\cdot d}{4}+\frac{\sqrt{15}\cdot d}{4})}{3}$$\Rightarrow V_2=\frac{4\pi \cdot (\frac{3d^2}{16}+\frac{\sqrt{45}\cdot d^2}{16}+\frac{\sqrt{45}\cdot d^2}{16}+\frac{15d^2}{16})\cdot (\frac{\sqrt{3}\cdot d}{4}+\frac{\sqrt{15}\cdot d}{4})}{3}$$\Rightarrow V_2=\frac{4\pi \cdot (\frac{3d^2}{16}+\frac{2\sqrt{45}\cdot d^2}{16}+\frac{15d^2}{16})\cdot (\frac{\sqrt{3}d}{4}+\frac{\sqrt{15}d}{4})}{3}$$\Rightarrow V_2=\frac{4\pi \cdot (\frac{3d^2}{16}+\frac{6\sqrt{5}\cdot d^2}{16}+\frac{15d^2}{16})\cdot (\frac{\sqrt{3}\cdot d}{4}+\frac{\sqrt{15}\cdot d}{4})}{3}$$\Rightarrow V_2=\frac{4\pi \cdot (\frac{3\sqrt{3}\cdot d^3}{64}+\frac{6\sqrt{15}\cdot d^3}{64}+\frac{15\sqrt{3}\cdot d^3}{64}+\frac{3\sqrt{15}\cdot d^3}{64}+\frac{6\sqrt{75}\cdot d^3}{64}+\frac{15\sqrt{15}\cdot d^3}{64})}{3}$$\Rightarrow V_2=\frac{4\pi \cdot (\frac{3\sqrt{3}\cdot d^3}{64}+\frac{6\sqrt{15}\cdot d^3}{64}+\frac{15\sqrt{3}\cdot d^3}{64}+\frac{3\sqrt{15}\cdot d^3}{64}+\frac{30\sqrt{3}\cdot d^3}{64}+\frac{15\sqrt{15}\cdot d^3}{64})}{3}$$\Rightarrow V_2=\frac{4\pi \cdot (\frac{48\sqrt{3}\cdot d^3}{64}+\frac{24\sqrt{15}\cdot d^3}{64})}{3}$$\Rightarrow V_2=\frac{\pi \cdot \left(\frac{48\sqrt{3}\cdot d^3+24\sqrt{15}\cdot d^3}{16}\right)}{3}$$\Rightarrow V_2=\frac{48\sqrt{3}\cdot d^3\cdot \pi +24\sqrt{15}\cdot d^3\cdot \pi }{16\cdot 3}$$\Rightarrow V_2=\sqrt{3}\cdot d^3\cdot \pi +\frac{\sqrt{15}\cdot d^3\cdot \pi }{2}$$\Rightarrow V_2=\pi \cdot (\sqrt{3}+\frac{\sqrt{15}}{2})\cdot d^3.$

Desse modo, $V_2$ representa 100% do volume e $V_1$ representa $x$ por cento.

$\frac{V_1}{V_2}=\frac{x}{100\mathrm{\%}}\Rightarrow 100\mathrm{\%}\cdot V_1=x\cdot V_2.$

Logo, com os valores obtidos para $V_1$ e $V_2$:

$100\mathrm{\%}\cdot \frac{1}{4}\cdot (15+7\sqrt{5})\cdot d^3=x\cdot \pi \cdot (\sqrt{3}+\frac{\sqrt{15}}{2})\cdot d^3$$\Rightarrow \frac{(1500\mathrm{\%}+700\mathrm{\%}\sqrt{5})\cdot d^3}{4}=x\cdot \pi \cdot (\sqrt{3}+\frac{\sqrt{15}}{2})\cdot d^3$$\Rightarrow (1500\mathrm{\%}+700\mathrm{\%}\sqrt{5})\cdot d^3=4\cdot x\cdot \pi \cdot (\sqrt{3}+\frac{\sqrt{15}}{2})\cdot d^3$$\Rightarrow (1500\mathrm{\%}+700\mathrm{\%}\sqrt{5})\cdot d^3=x\cdot \pi \cdot (4\sqrt{3}+2\sqrt{15})\cdot d^3$$\Rightarrow \frac{(1500\mathrm{\%}+700\mathrm{\%}\sqrt{5})\cdot d^3}{\pi \cdot (4\sqrt{3}+2\sqrt{15})\cdot d^3}=x$$\Rightarrow \frac{1500\mathrm{\%}+700\mathrm{\%}\sqrt{5}}{2\pi \cdot (2\sqrt{3}+\sqrt{15})}=x.$

Para $\sqrt{5}\cong 2,24$, $\pi \cong 3,14$, $\sqrt{3}\cong 1,73$ e $\sqrt{15}\cong 3,87$, tem-se:

$\frac{1500\mathrm{\%}+700\mathrm{\%}\cdot 2,24}{2\cdot 3,14\cdot (2\cdot 1,73+3,87)}\cong x$$\Rightarrow \frac{3068\mathrm{\%}}{46,03}\cong x$$\Rightarrow 66,65\mathrm{\%}\cong x$.

• Icosaedro:

Para representar o volume do icosaedro utilizaremos $V_1$ e para representar o volume da esfera circunscrita ao icosaedro utilizaremos $V_2$:

$V_1=\frac{5}{12}\cdot (3+\sqrt{5})\cdot d^3$

$V_2=\frac{4\pi (\frac{1}{4}\cdot \sqrt{10+2\sqrt{5}}\cdot d{)}^3}{3}$$\Rightarrow V_2=\frac{4\pi (\frac{1}{4}\cdot \sqrt{10+2\sqrt{5}}\cdot d)\cdot (\frac{1}{4}\cdot \sqrt{10+2\sqrt{5}}\cdot d)\cdot (\frac{1}{4}\cdot \sqrt{10+2\sqrt{5}}\cdot d)}{3}$$\Rightarrow V_2=\frac{4\pi (\frac{(10+2\sqrt{5})\cdot d^2}{16}\cdot d)\cdot (\frac{1}{4}\cdot \sqrt{10+2\sqrt{5}}\cdot d)}{3}$$\Rightarrow V_2=\frac{4\pi (\frac{5d^2}{8}+\frac{\sqrt{5}\cdot d^2}{8})\cdot (\frac{1}{4}\cdot \sqrt{10+2\sqrt{5}}\cdot d)}{3}$$\Rightarrow V_2=\frac{4\pi (\frac{5\sqrt{10+2\sqrt{5}}\cdot d^3}{32}+\frac{\sqrt{5\cdot (10+2\sqrt{5})}\cdot d^3}{32})}{3}$$\Rightarrow V_2=\frac{\pi \left(\frac{5\sqrt{10+2\sqrt{5}}\cdot d^3+\sqrt{50+10\sqrt{5}}\cdot d^3}{8}\right)}{3}$$\Rightarrow V_2=\frac{\pi (5\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{50+10\sqrt{5}})\cdot d^3}{8\cdot 3}$$\Rightarrow V_2=\pi \cdot \left(\frac{5\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{24}\right)\cdot d^3.$

Como $V_2$ vale 100%, então o volume de $V_1$ será de $x$ por cento.

$\frac{V_1}{V_2}=\frac{x}{100\mathrm{\%}}\Rightarrow 100\mathrm{\%}\cdot V_1=x\cdot V_2.$

Ou seja, com os valores obtidos para $V_1$ e $V_2$:

$100\mathrm{\%}\cdot \frac{5}{12}\cdot (3+\sqrt{5})\cdot d^3=x\cdot \pi \cdot \left(\frac{5\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{24}\right)\cdot d^3$$\Rightarrow \frac{(1500\mathrm{\%}+500\mathrm{\%}\sqrt{5})\cdot d^3}{12}=x\cdot \left[\frac{\pi \cdot (5\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{50+10\sqrt{5}})\cdot d^3}{24}\right]$$\Rightarrow \left[\frac{(1500\mathrm{\%}+500\mathrm{\%}\sqrt{5})\cdot d^3}{12}\right]\cdot \left[\frac{24}{\pi \cdot (5\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{50+10\sqrt{5}})\cdot d^3}\right]=x$$\Rightarrow \frac{2\cdot (1500\mathrm{\%}+500\mathrm{\%}\sqrt{5})}{\pi \cdot (5\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{50+10\sqrt{5}})}=x.$

Utilizando $\sqrt{5}\cong 2,24$ e $\pi \cong 3,14$:

$\frac{2\cdot (1500\mathrm{\%}+500\mathrm{\%}\cdot 2,24)}{3,14\cdot (5\sqrt{10+2\cdot 2,24}+\sqrt{50+10\cdot 2,24})}\cong x$$\Rightarrow \frac{5240\mathrm{\%}}{3,14\cdot (5\sqrt{14,48}+\sqrt{72,4})}\cong x.$

Ainda, sendo $\sqrt{14,48}\cong 3,81$ e $\sqrt{72,4}\cong 8,51$:

$\frac{5240\mathrm{\%}}{3,14\cdot (5\cdot 3,81+8,51)}\cong x$$\Rightarrow \frac{5240\mathrm{\%}}{86,54}\cong x$$\Rightarrow 60,55\mathrm{\%}\cong x.$

Ver também

• Poliedro
• Polígono regular

Referências

Predefinição:Esboço-geometria