Rapidez (relatividade)

Rapidez é o valor de Predefinição:Math para velocidade Predefinição:Mvar e velocidade de luz Predefinição:Mvar

Na relatividade especial, o conceito clássico de velocidade é convertido em rapidez para acomodar o limite determinado pela velocidade da luz. As velocidades devem ser combinadas pela fórmula de adição de velocidadePredefinição:Ill de Einstein. Para baixas velocidades, rapidez e velocidade são quase exatamente proporcionais, mas, para velocidades mais altas, a rapidez assume um valor maior, sendo a rapidez da luz infinita.

Matematicamente, a rapidez pode ser definida como o ângulo hiperbólico que diferencia dois quadros de referência (referenciais) em movimento relativo, sendo cada quadro (referencial) associado com coordenadas de distância e tempo.

Usando a função hiperbólica inversa Predefinição:Math, a rapidez Predefinição:Mvar correspondente à velocidade Predefinição:Mvar é Predefinição:Math onde Predefinição:Mvar é a velocidade da luz. Para baixas velocidades, Predefinição:Mvar é aproximadamente Predefinição:Math. Como na relatividade qualquer velocidade Predefinição:Mvar é restrita ao intervalo Predefinição:Math, a razão Predefinição:Math satisfaz Predefinição:Math. A tangente hiperbólica inversa tem o intervalo unitário Predefinição:Math para seu domínio e toda a linha realPredefinição:Ill para sua imagemPredefinição:Ill; isto é, o intervalo Predefinição:Math mapeia para Predefinição:Math.

História

Em 1908, Hermann Minkowski explicou como a transformação de Lorentz poderia ser vista simplesmente como uma rotação hiperbólicaPredefinição:Ill das coordenadas do espaço-tempo, ou seja, uma rotação através de um ângulo imaginário. Este ângulo, portanto, representa (em uma dimensão espacial) uma simples medida aditiva da velocidade entre os quadros. O parâmetro de rapidez, que substitui a velocidade, foi introduzido (em 1910) por Vladimir Varićak e por E. T. Whittaker. O parâmetro foi denominado rapidez por Alfred Robb (1911) e este termo foi adotado por muitos autores posteriores, como Ludwik Silberstein (em 1914), Frank Morley (em 1936) e Wolfgang Rindler (em 2001).

Área de um setor hiperbólico

A quadraturaPredefinição:Ill da hipérbole Predefinição:Math de Grégoire de Saint-Vincent estabeleceu o logaritmo natural como a área de um setor hiperbólico, ou uma área equivalente contra uma assíntota. Na teoria do espaço-tempo, a conexão de eventos pela luz divide o universo em passado, futuro ou outro lugar com base no aqui e agora.Predefinição:Esclarecer Em qualquer linha do espaço, um feixe de luz pode ser direcionado para a esquerda ou para a direita. Tome o Predefinição:Nowrap como os eventos passados pelo feixe direito e o Predefinição:Nowrap como os eventos do feixe esquerdo. Então um quadro (referencial) em repouso tem tempo ao longo da diagonal Predefinição:Math. A hipérbole retangular Predefinição:Math pode ser usada para medir velocidades (no primeiro quadrante). A velocidade zero corresponde a Predefinição:Math. Qualquer ponto na hipérbole tem coordenadas de cone de luzPredefinição:Ill $(e^w,e^{-w})$ onde Predefinição:Mvar é a rapidez e é igual à área do setor hiperbólico de Predefinição:Math para essas coordenadas. Muitos autores referem-se, em vez disso, à hipérbole unitáriaPredefinição:Ill $x^2-y^2$, usando a rapidez como parâmetro, como no diagrama de espaço-tempoPredefinição:Ill padrão. Lá, os eixos são medidos por relógio e medidor, referências mais familiares e a base da teoria do espaço-tempo. Portanto, o delineamento da rapidez como parâmetro hiperbólico do espaço-feixe é uma referênciaPredefinição:Esclarecer à origem do século XVII de nossas preciosas funções transcendentes e um suplemento à diagramação do espaço-tempo.

Impulso de Lorentz

A rapidez Predefinição:Mvar surge na representação linear de um impulso de LorentzPredefinição:Ill como um produto vetor-matriz: $$\left(\begin{array}{c}c{t}^{\prime }\\ x^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cosh w& -\sinh w\\ -\sinh w& \cosh w\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}ct\\ x\end{array}\right)=\mathrm{\Lambda }(w)\left(\begin{array}{c}ct\\ x\end{array}\right)$$ A matriz Predefinição:Math é do tipo $\left(\begin{array}{cc}p& q\\ q& p\end{array}\right)$ com Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar satisfazendo Predefinição:Math, de modo que Predefinição:Math está na hipérbole unitáriaPredefinição:Ill. Tais matrizes formam o grupo ortogonal indefinido O(1,1)Predefinição:Ill com álgebra de Lie unidimensional expandida pela matriz de unidade anti-diagonal, mostrando que a rapidez é a coordenada nesta álgebra de Lie. Esta ação pode ser representada em um diagrama de espaço-tempoPredefinição:Ill. Na notação exponencial de matriz, Predefinição:Math pode ser expresso como $\mathrm{\Lambda }(w)=e^{𝐙w}$, onde Predefinição:Math é o negativo da matriz da unidade anti-diagonal: $$𝐙=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)$$ Uma propriedade chave da matriz exponencial é $e^{𝐗(s+t)}=e^{𝐗s}{e}^{𝐗t}$ da qual segue imediatamente que: $$\mathrm{\Lambda }(w_1+w_2)=\mathrm{\Lambda }(w_1)\mathrm{\Lambda }(w_2).$$ Isso estabelece a propriedade aditiva útil da rapidez: se Predefinição:Math, Predefinição:Math e Predefinição:Math são quadros de referência (referenciais), então: $$w_{\text{AC}}=w_{\text{AB}}+w_{\text{BC}}$$ onde Predefinição:Math denota a rapidez de um quadro de referência (referencial) Predefinição:Math em relação a um quadro de referência (referencial) Predefinição:Math. A simplicidade desta fórmula contrasta com a complexidade da correspondente fórmula de adição de velocidadePredefinição:Ill.

Como podemos ver na transformação de Lorentz acima, o fator de Lorentz se identifica com Predefinição:Math: $$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\equiv \cosh w$$ então a rapidez Predefinição:Mvar é implicitamente usada como um ângulo hiperbólico nas expressões de transformação de Lorentz usando Predefinição:Mvar e {{Mvar|β}]. Relacionamos rapidezes com a fórmula de adição de velocidadePredefinição:Ill: $$u=\frac{u_1+u_2}{1+\frac{u_1{u}_2}{c^2}}$$ ao reconhecer $${\beta }_i=\frac{u_i}{c}=\tanh w_i$$ e assim: $$\tanh w=\frac{\tanh w_1+\tanh w_2}{1+\tanh w_1\tanh w_2}=\tanh (w_1+w_2)$$ A aceleração própriaPredefinição:Ill (a aceleração "sentida" pelo objeto que está sendo acelerado) é a taxa de variação da rapidez em relação ao tempo próprio (tempo medido pelo próprio objeto em aceleração). Portanto, a rapidez de um objeto em um determinado quadro de referência (referencial) pode ser vista simplesmente como a velocidade desse objeto, como seria calculada de forma não relativística por um sistema de orientação inercial a bordo do próprio objeto se ele acelerasse do repouso naquele quadro de referência (referencial) até sua velocidade dada.

O produto de Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar aparece com frequência e é dos argumentos acima: $$\beta \gamma =\tanh w\cosh w=\sinh w$$

Relações exponenciais e logarítmicas

Das expressões acima temos: $$e^w=\gamma (1+\beta )=\gamma (1+\frac{v}{c})=\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}$$ e assim: $$e^{-w}=\gamma (1-\beta )=\gamma (1-\frac{v}{c})=\sqrt{\frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}$$ ou explicitamente: $$w=\ln [\gamma (1+\beta )]=-\ln [\gamma (1-\beta )]$$ O fator de desvio de Doppler associado à rapidez Predefinição:Mvar é $k=e^w$.

Em física de partículas experimental

A energia Predefinição:Mvar e o momento escalar Predefinição:Math de uma partícula de massa diferente de zero (repouso) Predefinição:Mvar são dadas por: $$\begin{array}{cc}E& =\gamma m{c}^2\\ \left|𝐩\right|& =\gamma mv\end{array}$$ Com a definição de Predefinição:Mvar: $$w=\mathrm{artanh}\frac{v}{c}$$: e assim com: $$\cosh w=\cosh (\mathrm{artanh}\frac{v}{c})=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\gamma$$ $$\sinh w=\sinh (\mathrm{artanh}\frac{v}{c})=\frac{\frac{v}{c}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\beta \gamma$$ a energia e o momento escalar podem ser escritos como: $$\begin{array}{cc}E& =m{c}^2\cosh w\\ \left|𝐩\right|& =mc\sinh w\end{array}$$ Assim, a rapidez pode ser calculada a partir da energia e do momento medidos por: $$w=\mathrm{artanh}\frac{|𝐩|c}{E}=\frac{1}{2}\ln \frac{E+|𝐩|c}{E-|𝐩|c}=\ln \frac{E+|𝐩|c}{m{c}^2}$$ No entanto, os físicos de partículas experimentais costumam usar uma definição modificada de rapidez em relação a um eixo de feixe: $$y=\frac{1}{2}\ln \frac{E+p_{z}c}{E-p_{z}c}$$ onde Predefinição:Math é o componente do momento ao longo do eixo do feixe. Esta é a rapidez do impulso ao longo do eixo do feixe que leva um observador do quadro do laboratório para um quadro no qual a partícula se move apenas perpendicularmente ao feixe. Relacionado a isso está o conceito de pseudorapidezPredefinição:Ill.

A rapidez relativa a um eixo de feixe também pode ser expressa como: $$y=\ln \frac{E+p_{z}c}{\sqrt{m^2{c}^4+p_T^2{c}^2}}$$

Ver também

• Teoria da relatividade
• Transformação de Lorentz

Bibliografia

• Vladimir Varićak (1910, 1912, 1924), publicações
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• Émile Borel (1913), La théorie de la relativité et la cinématique (em francês), Comptes rendus de l'Académie des Sciences, volume 156, páginas 215 – 218; volume 157, páginad 703 – 705, Paris
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• Vladimir Karapetoff (1936), "Restricted relativity in terms of hyperbolic functions of rapidities" (em inglês), American mathematical monthly, volume 43, página 70.
• Frank Morley (1936), "When and where" (em inglês), The criterion (em inglês), editado por Thomas Stearns Eliot, volume 15, páginas 200 – 209.
• Wolfgang Rindler (2001), Relativity: Special, general, and cosmological (em inglês), página 53, Oxford university press.
• Ronald Shaw (1982), Linear algebra and group representations (em inglês), volume 1, página 229, Academic pressPredefinição:Ill Predefinição:ISBN.
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