Teorema da representação de Riesz–Markov–Kakutani

Na teoria da medida e na análise funcional, o teorema da representação de Riesz–Markov–Kakutani, também conhecido por teorema da representação de Riesz ou de Riesz–Markov, enuncia condições sob as quais um funcional linear num subespaço de Predefinição:Math, que é o espaço das funções complexas contínuas em Predefinição:Math, é da forma

Predefinição:Math,

isto é, é dado por integração em relação a uma medida positiva ou complexa Predefinição:Math.

O teorema recebe o nome de Frigyes Riesz, que analisou em 1909 o caso Predefinição:Math, de Andrei Markov Júnior, que analisou em 1938 para Predefinição:Math normal, e de Shizuo Kakutani, que analisou em 1941 para Predefinição:Math compacto de Hausdorff.

Enunciado

Nesta seção, Predefinição:Math denota espaço localmente compacto de Hausdorff qualquer.

Denota-se por Predefinição:Math o espaço vetorial complexo das funções contínuas Predefinição:Math de suporte compacto, normado por Predefinição:Math. Um funcional linear Predefinição:Math é dito ser positivo quando Predefinição:Math para cada Predefinição:Math tal que Predefinição:Math para cada Predefinição:Math.

Uma medida (positiva ou complexa) é dita ser medida de Borel em Predefinição:Math quando é definida numa σ-álgebra contendo a σ-álgebra de Borel de Predefinição:Math. Uma medida positiva de Borel Predefinição:Math em Predefinição:Math é dita:

• ser regular exterior em Predefinição:Math quando$$\mu (E)=\inf \{\mu (V)\mid \text{aberto }V\supseteq E\};$$
• ser regular interior em Predefinição:Math quando$$\mu (E)=\sup \{\mu (K)\mid \text{compacto }K\subseteq E\};$$
• ser finita em compactos quando Predefinição:Math para cada compacto Predefinição:Math.

Uma medida positiva de Borel Predefinição:Math é dita ser regular quando é simultaneamente regular exterior e regular interior em cada subconjunto de Borel de Predefinição:Math. Uma medida complexa de Borel Predefinição:Math é dita ser regular quando a medida de variação total Predefinição:Math é medida positiva regular.

O teorema da representação de Riesz para medidas positivas diz que$$\mu \mapsto (f\in {\mathrm{C}}_{\mathrm{C}}(X)\mapsto \underset{X}{\int }f\mathrm{d}\mu )$$define bijeção entre o conjunto das medidas positivas de Borel Predefinição:Math em Predefinição:Math tais que

• Predefinição:Math é finita em compactos,
• Predefinição:Math regular exterior em cada subconjunto de Borel de Predefinição:Math,
• Predefinição:Math regular interior em cada Predefinição:Math tal que Predefinição:Math é aberto ou Predefinição:Math,

e o conjunto dos funcionais lineares positivos em Predefinição:Math.

O teorema da representação de Riesz para medidas complexas diz que$$\mu \mapsto (f\in {\mathrm{C}}_{\mathrm{C}}(X)\mapsto \underset{X}{\int }f\mathrm{d}\mu )$$define bijeção entre o conjunto das medidas complexas de Borel regulares em Predefinição:Math e o conjunto dos funcionais lineares contínuos em Predefinição:Math, e, adicionalmente, esta bijeção é uma isometria no aspecto que$$\left|\mu \right|(X)=\Vert f\mapsto \underset{X}{\int }f\mathrm{d}\mu \Vert ,$$em que o lado direito denota a norma de funcional linear.

Algumas notas:

• Denota-se por Predefinição:Math o espaço das funções contínuas Predefinição:Math que se anulam no infinito, isto é, tais que, para cada Predefinição:Math, há compacto Predefinição:Math tal que Predefinição:Math sempre que Predefinição:Math. Então, como Predefinição:Math é a completação de Predefinição:Math, o teorema da representação de Riesz para medidas complexas pode ser equivalentemente enunciado para Predefinição:Math no lugar de Predefinição:Math.
• Não exigindo as condições de regularidade exterior ou interior, duas medidas diferentes podem induzir um mesmo funcional linear positivo.
• Quando todo aberto de Predefinição:Math é união enumerável de compactos, toda medida positiva de Borel em Predefinição:Math que é finita em compactos é automaticamente regular.

Exemplos

• Sendo Predefinição:Math,$$\mathrm{\Lambda }(f\in {\mathrm{C}}_{\mathrm{C}}(X))=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{2}^{-n\cdot k}\cdot \sum _{x\in P_n}f(x),$$em que Predefinição:Math é o conjunto dos pontos cujas coordenadas são múltiplas inteiras de Predefinição:Math, define funcional linear positivo, logo há única medida positiva regular Predefinição:Math tal que$$\mathrm{\Lambda }(f)=\underset{X}{\int }f\mathrm{d}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}$$para cada Predefinição:Math. Esta Predefinição:Math é a medida de Lebesgue em Predefinição:Math dimensões.
• (Exige conhecimentos de álgebras de Banach.) Denote por Predefinição:Math a medida de Lebesgue restrita a subconjuntos de Predefinição:Math, e seja Predefinição:Math o espaço de ideais maximais da álgebra de Banach Predefinição:Math (ver espaços Lp), isto é, o conjunto das funções lineares multiplicativas não nulas Predefinição:Math, cuja topologia é de convergência pontual. Pode-se mostrar que a transformada de Gelfand Predefinição:Math é uma isometria de Predefinição:Math a Predefinição:Math, logo existe única medida regular Predefinição:Math em Predefinição:Math tal que$$\underset{\mathrm{\Delta }}{\int }\hat{f}\mathrm{d}\mu =\underset{0}{\overset{1}{\int }}f$$para cada Predefinição:Math; também, Predefinição:Math é medida positiva. O espaço de medida resultante satisfaz algumas propriedades incomuns; por exemplo, para toda função limitada de Borel Predefinição:Math existe função contínua Predefinição:Math tal que Predefinição:Math.

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro
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