Técnicas para diferenciação

Este artigo contém uma lista de técnicas para a diferenciação de funções reais, categorizadas por tipo.

Funções polinomiais simples

Dado um polinômio $p(x)$, que é definido pela fórmula:

$p(x)=\sum _{i=0}^m{k}_i{x}^i$, tem-se

$\frac{d}{dx}p(x)=\sum _{i=1}^{m}i{k}_i{x}^{i-1}.$

Que é, simples multiplicação de cada termo por seu grau, então dividir-se por ’’$x$’’. Por exemplo, pode-se diferenciar $\sqrt{x}+5x$. Primeiramente, divide-se em seus termos componentes: $\sqrt{x}$ e $5x$. $\sqrt{x}$ é igual a $x^{1/2}$, significando que sua derivada é $1/2\sqrt{x}$, ou metade do recíproco do valor. $5x$ simplesmente torna-se 5, dando-nos:

$\frac{d}{dx}(\sqrt{x}+5x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+5=\frac{1+10\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}.$

Funções exponenciais

Dada uma função “f(x)” igual a b^x, sua derivada pode ser encontrada pela seguinte fórmula:

$\frac{d}{dx}{b}^x=b^x\ln b$

onde “ln b” é o logaritmo natural de b. Usando-se esta fórmula, nós podemos diferenciar 225^x por multiplicar por ln 225 = ln 15² = 2 ln 15 = 2(ln 3 + ln 5). (Ver Logaritmo natural). Assim, finalmente, temos 225^x 2 ln 3 + 225^x 2 ln 5.

Demonstração

$\frac{d}{dx}{b}^x$

$=\frac{d}{dx}{e}^{\ln b^x}$ Uma propriedade dos logaritmos.

$=\frac{d}{dx}{e}^{x\ln b}$ Outra propriedade dos logaritmos

$=(\frac{d}{dx}x\ln b)\left(e^{x\ln b}\right)$ Da regra da cadeia.

$=(\ln b)\left(e^{\ln b^x}\right)$

$=b^x\ln b$

Funções logarítmicas

Todas as funções logarítmicas podem ser diferenciadas via uma fórmula muito similar aquela para funções exponenciais. A inclinação de qualquer função logarítmica em um ponto x é igual ao inverso de x vezes o logaritmo natural da base, ou:

$\frac{d}{dx}{\log }_{b}x=\frac{1}{x\ln b}.$

Através disto podemos diferenciar o próprio logaritmo natural. Naturalmente, a base do logaritmo natural é e, e o logaritmo de base x de x é sempre um. Portanto, o logaritmo natural de e é um. Sabendo disso, podemos achar que o declive do logaritmo natural em qualquer ponto é igual ao inverso da altura naquele ponto.

Demonstração

Tendo-se

$y={\log }_{b}x$.

Então

$b^y=x$.

$e^{\ln b^y}=x$

$e^{y\ln b}=x$

Usando-se diferenciação implícita.

$\left(e^{y\ln b}\right)(\frac{d}{dx}y\ln b)=1$

$\left(e^{\ln b^y}\right)\left(\frac{dy}{dx}\right)(\ln b)=1$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{(b^y)(\ln b)}$

Desde que $y={\log }_{b}x$ e $b^y=x$, $\frac{d}{dx}{\log }_{b}x=\frac{1}{x\ln b}$.

Funções trigonométricas simples

Predefinição:Col-2 $\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$

$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$

$\frac{d}{dx}\tan x={\sec }^{2}x$ Predefinição:Col-2 $\frac{d}{dx}\sec x=\tan x\sec x$

$\frac{d}{dx}\csc x=-\cot x\csc x$

$\frac{d}{dx}\cot x=-{\csc }^{2}x$Predefinição:Col-end Predefinição:Col-end

Para uma extensa lista de derivadas de funções trigonométricas, funções hiperbólicas, suas inversas, e demonstrações, ver tabela de derivadas e diferenciação de funções trigonométricas.

Ver também

• Cálculo
• Derivada