Vetor potencial magnético

Predefinição:Eletromagnetismo Vetor potencial magnético ou potencial do vetor magnético, A, é a grandeza vetorial no eletromagnetismo clássico definida de modo que seu rotacional seja igual ao campo magnético: $\mathrm{\nabla }\times 𝐀=𝐁$.

Junto ao potencial elétrico φ, o potencial do vetor magnético pode ser usado para especificar também o campo elétrico E. Portanto, muitas equações do eletromagnetismo podem ser escritas em termos de campos E e B, ou de forma equivalente em termos dos potenciais φ e A. Em teorias mais avançadas, como a mecânica quântica, a maioria das equações usa potenciais em vez de campos. Historicamente, Lord Kelvin introduziu pela primeira vez o potencial vetorial em 1851, junto à fórmula que o relaciona com o campo magnético.

Potencial do vetor

O potencial do vetor magnético A é um campo vetorial, definido junto ao potencial elétrico ϕ (um campo escalar) pelas equações:

$𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀,𝐄=-\mathrm{\nabla }\varphi -\frac{\partial 𝐀}{\partial t},$

onde B é o campo magnético e E é o campo elétrico. Em magnetostática, onde não há distribuição de carga variável no tempo, apenas a primeira equação é necessária. (No contexto da eletrodinâmica, os termos potencial vetorial e potencial escalar são usados ​​para o potencial vetorial magnético e potencial elétrico, respectivamente. Em matemática, o potencial vetorial e o potencial escalar podem ser generalizados para dimensões superiores.)

Se os campos elétricos e magnéticos são definidos como acima a partir dos potenciais, eles satisfazem automaticamente duas das equações de Maxwell: a lei de Gauss para o magnetismo e a lei de Faraday. Por exemplo, se A é contínuo e bem definido em todos os lugares, então é garantido que não resultará em monopólos magnéticos. (Na teoria matemática dos monopólos magnéticos, A pode ser indefinido ou com valores múltiplos em alguns lugares; veja monopolo magnético para detalhes).

Começando com as definições acima:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁& =\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=0\\ \mathrm{\nabla }\times 𝐄& =\mathrm{\nabla }\times (-\mathrm{\nabla }\varphi -\frac{\partial 𝐀}{\partial t})=-\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}.\end{array}$

Alternativamente, a existência de A e ϕ é garantido a partir dessas duas leis usando o teorema de Helmholtz. Por exemplo, uma vez que o campo magnético é livre de divergência (lei de Gauss para o magnetismo; ou seja, Predefinição:Nowrap), sempre existe um A que satisfaz a definição acima.

O potencial do vetor Aé usado ao estudar o Lagrangiano na mecânica clássica e na mecânica quântica (veja a equação de Schrödinger para partículas carregadas, equação de Dirac e efeito Aharonov-Bohm).

No sistema SI, as unidades de A são V·s·m⁻¹ e são iguais ao momento por unidade de carga, ou força por unidade de corrente. No acoplamento mínimo, qA é chamado de momento potencial e faz parte do momento canônico.

A integral de linha de A sobre um "loop" fechado é igual ao fluxo magnético através da superfície fechada:

${\oint }_{\mathrm{\Gamma }}𝐀\cdot d\mathrm{\Gamma }=\underset{S}{\iint }\mathrm{\nabla }\times 𝐀\cdot d𝐒={\mathrm{\Phi }}_B.$

Portanto, as unidades de A também são equivalentes a Weber por metro . A equação acima é útil na quantização de fluxo de loops supercondutores .

Embora o campo magnético B seja um pseudovetor (também chamado de vetor axial ), o potencial vetorial A é um vetor polar . Isso significa que se a regra da mão direita para produto vetorial fosse substituída por uma regra da mão esquerda, mas sem alterar nenhuma outra equação ou definição, então B trocaria de sinal, mas A não mudaria. Este é um exemplo de um teorema geral: a curva de um vetor polar é um pseudovetor e vice-versa.

Opções de medidor

A definição acima não define o potencial do vetor magnético exclusivamente porque, por definição, podemos adicionar arbitrariamente componentes livre de onda para o potencial magnético sem alterar o campo magnético observado. Portanto, há um certo grau de liberdade disponível ao escolher A. Esta condição é conhecida como invariância de calibre .

Equações de Maxwell em termos de potencial vetorial

Usar a definição de potenciais acima e aplicá-la às outras duas equações de Maxwell resulta em uma equação diferencial que pode ser simplificada usando o medidor de Lorenz onde A é escolhido para satisfazer:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \varphi }{\partial t}=0.$

Usando o medidor de Lorenz, as equações de Maxwell podem ser escritas compactamente em termos do potencial vetorial magnético A e do potencial escalar elétrico ϕ :

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\nabla }}^2\varphi -\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}& =-\frac{\rho }{{ϵ}_0}\\ {\mathrm{\nabla }}^2𝐀-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2𝐀}{\partial t^2}& =-{\mu }_0𝐉\end{array}$

Em outros medidores, as equações são diferentes. Uma notação diferente para escrever essas mesmas equações (usando quatro vetores ) é mostrada abaixo.

Cálculo de potenciais de distribuições de fonte

As soluções das equações de Maxwell no medidor de Lorenz (ver Feynman e Jackson ) com a condição de contorno de que ambos os potenciais vão a zero suficientemente rápido à medida que se aproximam do infinito são chamadas de potenciais retardadores, que são o potencial do vetor magnético Predefinição:Nowrap e o potencial escalar elétrico Predefinição:Nowrap devido a uma distribuição de corrente de densidade de corrente Predefinição:Nowrap, densidade de carga Predefinição:Nowrap, e volume Ω, dentro do qual ρ e J são diferentes de zero (pelo menos às vezes e em alguns lugares):

$\begin{array}{cc}𝐀(𝐫,t)& =\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\frac{𝐉({𝐫}^{\prime },t^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }\\ \varphi (𝐫,t)& =\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\frac{\rho ({𝐫}^{\prime },t^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }\end{array}$

Onde os campos no vetor posição r e tempo t são calculados a partir de fontes na posição distante r' em um tempo anterior t'. A localização r ′ é um ponto fonte na distribuição de carga ou corrente (também a variável de integração, dentro do volume Ω ). O tempo anterior t ′ é chamado de tempo retardado e calculado como

$t^{\prime }=t-\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c}$ .

Existem algumas coisas notáveis sobre A e ϕ calculados desta forma:

• (A condição do medidor Lorenz ): $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \varphi }{\partial t}=0$ é satisfeito.
• A posição de r, o ponto em que os valores de ϕ e A são encontrados, só entra na equação como parte da distância escalar de r ′ a r . A direção de r ′ para r não entra na equação. A única coisa que importa sobre um ponto de origem é a distância dele.
• O integrando usa o tempo retardado, t ′. Isso simplesmente reflete o fato de que as mudanças nas fontes se propagam na velocidade da luz. Conseqüentemente, as densidades de carga e corrente que afetam o potencial elétrico e magnético em r e t, da localização remota r', também devem estar em algum tempo anterior t ′.
• A equação para A é uma equação vetorial. Em coordenadas cartesianas, a equação se separa em três equações escalares:

  $\begin{array}{cc}{A}_x(𝐫,t)& =\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\frac{J_x({𝐫}^{\prime },t^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }\\ A_y(𝐫,t)& =\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\frac{J_y({𝐫}^{\prime },t^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }\\ A_z(𝐫,t)& =\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\frac{J_z({𝐫}^{\prime },t^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }\end{array}$

Dessa forma, é fácil ver que o componente de A em uma dada direção depende apenas dos componentes de J que estão na mesma direção. Se a corrente for conduzida por um fio longo e reto, A aponta na mesma direção do fio.

Em outros medidores, a fórmula para A e ϕ é diferente.(Consulte o medidor de Coulomb para uma outra possibilidade.

Representação do campo A

Representando o po tencial de vetor magnético de calibre Coulomb A, a densidade de fluxo magnético B e os campos de densidade de corrente J em torno de um indutor toroidal de seção transversal circular. Linhas mais grossas indicam linhas de campo de maior intensidade média. Os círculos na seção transversal do núcleo representam o campo B saindo da imagem, mais os sinais representam o campo B entrando na imagem. Predefinição:Nowrap foi assumido.

Veja Feynman para a representação do campo A em torno de um solenoide longo e fino.

Desde a

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0𝐉$

assumindo condições quase estáticas, ou seja,

$\frac{\partial E}{\partial t}\to 0\mathrm{\nabla }\times 𝐀=𝐁,$

as linhas e contornos de A se relacionam com B como as linhas e contornos de B se relacionam com j . Assim, uma representação do campo A em torno de um loop de fluxo B (como seria produzido em um indutor toroidal ) é qualitativamente o mesmo que o campo B em torno de um loop de corrente.

A figura à direita é a representação artística do campo A. As linhas mais grossas indicam caminhos de intensidade média mais alta (caminhos mais curtos têm intensidade mais alta, de modo que a integral do caminho é a mesma). As linhas são desenhadas para (esteticamente) transmitir a aparência geral do A longe.

O desenho tacitamente assume Predefinição:Nowrap, verdadeiro sob uma das seguintes suposições:

• o medidor de Coulomb é assumido
• o medidor de Lorenz é assumido e não há distribuição de carga, Predefinição:Nowrap ,
• o medidor Lorenz é assumido e a frequência zero é assumida
• o medidor Lorenz é assumido e uma frequência diferente de zero que é baixa o suficiente para negligenciar $\frac{1}{c}\frac{\partial \varphi }{\partial t}$ é assumido.

Quatro potenciais eletromagnéticos

No contexto da relatividade especial, é natural juntar o potencial vetorial magnético com o potencial elétrico (escalar) no potencial eletromagnético, também chamado de quatro potenciais .

Uma motivação para fazer isso é que o quatro potenciais é um quadrivetor matemáticos. Assim, usando regras de transformação de quatro vetores padrão, se os potenciais elétricos e magnéticos são conhecidos em um referencial inercial, eles podem ser simplesmente calculados em qualquer outro referencial inercial.

Outra motivação relacionada é que o conteúdo do eletromagnetismo clássico pode ser escrito de uma forma resumida e conveniente usando o potencial eletromagnético quatro, especialmente quando o medidor de Lorenz é usado. Em particular, na notação de índice abstratos, o conjunto de equações de Maxwell (no calibre de Lorenz) pode ser escrito (em unidades gaussianas ) como segue:

$\begin{array}{cc}{\partial }^{\mu }{A}_{\mu }& =0\\ ◻A_{\mu }& =\frac{4\pi }{c}{J}_{\mu }\end{array}$

onde □ é o Operador de d'Alembert e J é a quatro correntes . A primeira equação é a condição de medidor de Lorenz, enquanto a segunda contém as equações de Maxwell. Os quatro potenciais também desempenham um papel muito importante na eletrodinâmica quântica .

Veja também

• Efeito Aharonov-Bohm

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citation
• Predefinição:Citation