Superfície paramétrica

Uma superfície paramétrica é uma superfície no espaço euclidiano ${ℝ}^3$ que é definida por uma equação paramétrica com dois parâmetros $\overrightarrow{r}:{ℝ}^2\to {ℝ}^3.$ A representação paramétrica é uma maneira muito geral de especificar uma superfície, assim como a representação implícita. Superfícies que ocorrem em dois dos teoremas principais do cálculo vetorial, teorema de Stokes e o teorema da divergência, são frequentemente fornecidas de forma paramétrica. A curvatura e o comprimento do arco de curvas na superfície, área de superfície, invariantes geométricas diferenciais, como a primeira e segunda formas fundamentais, curvaturas gaussianas, médias e principais podem ser calculadas a partir de uma determinada parametrização.

Exemplos

Toro, criado com as equações: Predefinição:Math; Predefinição:Math; Predefinição:Math.

Superfície paramétrica formando um nó de trevo, detalhes da equação no código fonte anexado.

• O tipo mais simples de superfícies paramétricas é dado pelos gráficos de funções de duas variáveis:

$z=f(x,y),\overrightarrow{r}(x,y)=(x,y,f(x,y)).$

• Uma superfície racional é uma superfície que admite parametrizações por uma função racional. Uma superfície racional é uma superfície algébrica. Dada uma superfície algébrica, geralmente é mais fácil decidir se é racional do que calcular sua parametrização racional, se existir.
• Superfícies de revolução fornecem outra classe importante de superfícies que podem ser facilmente parametrizadas. Se o gráfico z = f(x), a ≤ x ≤ b for girado em torno do eixo z-a superfície resultante terá uma parametrização.

$\overrightarrow{r}(u,\varphi )=(u\cos \varphi ,u\sin \varphi ,f(u)),a\le u\le b,0\le \varphi <2\pi .$

Também pode ser parametrizado

$\overrightarrow{r}(u,v)=(u\frac{1-v^2}{1+v^2},u\frac{2v}{1+v^2},f(u)),a\le u\le b,$

mostrando que, se a função Predefinição:Math é racional, a superfície é racional.

• O cilindro circular reto de raio R em torno do eixo x tem a seguinte representação paramétrica:

$\overrightarrow{r}(x,\varphi )=(x,R\cos \varphi ,R\sin \varphi ).$

• Usando as coordenadas esféricas, a esfera unitária pode ser parametrizada por

$\overrightarrow{r}(\theta ,\varphi )=(\cos \theta \sin \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \varphi ),0\le \theta <2\pi ,0\le \varphi \le \pi .$

Essa parametrização quebra nos pólos norte e sul, onde o ângulo de azimute θ não é determinado exclusivamente. A esfera é uma superfície racional.

A mesma superfície admite muitas parametrizações diferentes. Por exemplo, o plano z da coordenada pode ser parametrizado como

$\overrightarrow{r}(u,v)=(au+bv,cu+dv,0)$

para quaisquer constantes a, b, c, d tais que ad − bc ≠ 0, ou seja, a matriz $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ é invertível.

Geometria diferencial local

A forma local de uma superfície paramétrica pode ser analisada considerando a expansão de Taylor da função que a determina. O comprimento do arco de uma curva na superfície e na área da superfície pode ser encontrado usando a integração.

Notação

Seja a superfície paramétrica dada pela equação

$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(u,v),$

onde $\overrightarrow{r}$ é uma função com valor vetorial dos parâmetros (u, v) e os parâmetros variam dentro de um determinado domínio D no plano uv paramétrico. As primeiras derivadas parciais com relação aos parâmetros são geralmente indicadas ${\overrightarrow{r}}_u:=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial u}$ e ${\overrightarrow{r}}_v,$ e da mesma forma para os derivativos mais altos, ${\overrightarrow{r}}_{uu},{\overrightarrow{r}}_{uv},{\overrightarrow{r}}_{vv}.$

No cálculo vetorial, os parâmetros são frequentemente indicados (s,t) e as derivadas parciais são gravadas usando a notação ∂:

$\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial s},\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial t},\frac{{\partial }^2\overrightarrow{r}}{\partial s^2},\frac{{\partial }^2\overrightarrow{r}}{\partial s\partial t},\frac{{\partial }^2\overrightarrow{r}}{\partial t^2}.$

Plano tangente e vetor normal

A parametrização é regular para os valores fornecidos dos parâmetros se os vetores

${\overrightarrow{r}}_u,{\overrightarrow{r}}_v$

são linearmente independentes. O plano tangente num ponto regular é o plano afim em R³ gerado por estes vectores e que passa através do ponto r(u, v) na superfície determinada pelos parâmetros. Qualquer vetor tangente pode ser decomposto exclusivamente em uma combinação linear de ${\overrightarrow{r}}_u$ e ${\overrightarrow{r}}_v.$. O produto vetorial desses vetores é um vetor normal para o plano tangente. Dividir esse vetor por seu comprimento gera um vetor normal unitário para a superfície parametrizada em um ponto regular:

$\overrightarrow{n}=\frac{{\overrightarrow{r}}_u\times {\overrightarrow{r}}_v}{|{\overrightarrow{r}}_u\times {\overrightarrow{r}}_v|}.$

Em geral, existem duas opções do vetor normal unitário para uma superfície em um determinado ponto, mas para uma superfície parametrizada regular, a fórmula anterior escolhe consistentemente uma delas e, portanto, determina uma orientação da superfície. Algumas das diferenciais geométricas invariantes de uma superfície em R³ são definidas pela própria superfície e são independentes da orientação, enquanto outros mudam o sinal se a orientação é invertida.

Área de superfície

A área superficial pode ser calculada integrando o comprimento do vetor normal ${\overrightarrow{r}}_u\times {\overrightarrow{r}}_v$ à superfície sobre a região apropriada D no plano paramétrico uv:

$A(D)=\underset{D}{\iint }|{\overrightarrow{r}}_u\times {\overrightarrow{r}}_v|dudv.$

Embora essa fórmula forneça uma expressão fechada para a área superficial, para todas as superfícies, exceto as muito especiais, isso resulta em uma integral dupla complicada, que normalmente é avaliada usando um sistema de álgebra computacional ou aproximada numericamente. Felizmente, muitas superfícies comuns formam exceções e suas áreas são explicitamente conhecidas. Isso é verdade para um cilindro circular, esfera, cone, toro, e algumas outras superfícies de revolução.

Isso também pode ser expresso como uma integral de superfície sobre o campo escalar 1:

$\underset{S}{\int }1dS.$

Primeira forma fundamental

Predefinição:Main A primeira forma fundamental é uma forma quadrática

$I=Ed{u}^2+2Fdudv+Gd{v}^2$

no plano tangente à superfície que é usada para calcular distâncias e ângulos. Para uma superfície parametrizada $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(u,v),$ seus coeficientes podem ser calculados da seguinte forma:

$E={\overrightarrow{r}}_u\cdot {\overrightarrow{r}}_u,F={\overrightarrow{r}}_u\cdot {\overrightarrow{r}}_v,G={\overrightarrow{r}}_v\cdot {\overrightarrow{r}}_v.$

O comprimento do arco das curvas parametrizadas na superfície S, o ângulo entre as curvas em S, e a área da superfície admitem expressões em termos da primeira forma fundamental.

Se (u(t), v(t)), a ≤ t ≤ b representa uma curva parametrizada nesta superfície, então seu comprimento de arco pode ser calculado como a integral:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{E{u}^{\prime }(t{)}^2+2F{u}^{\prime }(t)v^{\prime }(t)+G{v}^{\prime }(t{)}^2}dt.$

A primeira forma fundamental pode ser vista como uma família de formas bilineares simétricas definidas positivas no plano tangente em cada ponto da superfície, dependendo suavemente do ponto. Essa perspectiva ajuda a calcular o ângulo entre duas curvas em S que se cruzam em um determinado ponto. Esse ângulo é igual ao ângulo entre os vetores tangentes às curvas. A primeira forma fundamental avaliada nesse par de vetores é o seu produto escalar, e o ângulo pode ser encontrado na fórmula padrão

$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right||\overrightarrow{b}|}$

expressando o cosseno do ângulo através do produto escalar.

A área de superfície pode ser expressa em termos da primeira forma fundamental da seguinte forma:

$A(D)=\underset{D}{\iint }\sqrt{EG-F^2}dudv.$

Pela identidade de Lagrange, a expressão sob a raiz quadrada é precisamente ${|{\overrightarrow{r}}_u\times {\overrightarrow{r}}_v|}^2$, e, portanto, é estritamente positivo nos pontos regulares.

Segunda forma fundamental

A segunda forma fundamental

$\mathrm{I}\mathrm{I}=L\text{d}{u}^2+2M\text{d}u\text{d}v+N\text{d}{v}^2$

é uma forma quadrática no plano tangente à superfície que, juntamente com a primeira forma fundamental, determina as curvaturas das curvas na superfície. No caso especial quando (u, v) = (x, y) e o plano tangente à superfície no ponto dado é horizontal, a segunda forma fundamental é essencialmente a parte quadrática da expansão de Taylor de z em função de x e y.

Para uma superfície paramétrica geral, a definição é mais complicada, mas a segunda forma fundamental depende apenas das derivadas parciais de ordem um e dois. Seus coeficientes são definidos como projeções das segundas derivadas parciais de $\overrightarrow{r}$ no vetor normal da unidade $\overrightarrow{n}$ definido pela parametrização:

$L={\overrightarrow{r}}_{uu}\cdot \overrightarrow{n},M={\overrightarrow{r}}_{uv}\cdot \overrightarrow{n},N={\overrightarrow{r}}_{vv}\cdot \overrightarrow{n}.$

Como a primeira forma fundamental, a segunda forma fundamental pode ser vista como uma família de formas bilineares simétricas no plano tangente em cada ponto da superfície, dependendo suavemente do ponto.

Curvatura

A primeira e a segunda formas fundamentais de uma superfície determinam seus importantes invariantes diferencial-geométricos: a curvatura gaussiana, a curvatura média, e as curvaturas principais.

As principais curvaturas são os invariantes do par, consistindo na segunda e na primeira formas fundamentais. São as raízes κ₁, κ₂ da equação quadrática

$\det (\mathrm{I}\mathrm{I}-\kappa \mathrm{I})=0,\det \left|\begin{array}{cc}L-\kappa E& M-\kappa F\\ M-\kappa F& N-\kappa G\end{array}\right|=0.$

A curvatura gaussiana K = κ₁κ₂ e a curvatura média H = (κ₁ + κ₂)/2 podem ser calculadas da seguinte forma:

$K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2},H=\frac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)}.$

Até um sinal, essas quantidades são independentes da parametrização usada e, portanto, formam ferramentas importantes para analisar a geometria da superfície. Mais precisamente, as curvaturas principais e a curvatura média alteram o sinal se a orientação da superfície for invertida, e a curvatura gaussiana é totalmente independente da parametrização.

O sinal da curvatura gaussiana em um ponto determina a forma da superfície próxima a esse ponto: para K > 0 a superfície é localmente convexa e o ponto é chamado elíptico, enquanto que para K < 0 a superfície é em forma de sela e o ponto é chamado hiperbólico. Os pontos em que a curvatura gaussiana é zero são chamados parabólicos. Em geral, os pontos parabólicos formam uma curva na superfície chamada linha parabólica. A primeira forma fundamental é definida positivamente, portanto seu determinante EG − F² é positivo em todos os lugares. Portanto, o sinal de K coincide com o sinal de LN − M², o determinante do segundo fundamental.

Os coeficientes da primeira forma fundamental apresentada acima podem ser organizados em uma matriz simétrica:

$F_1=\left[\begin{array}{cc}E& F\\ F& G\end{array}\right].$

E o mesmo para os coeficientes da segunda forma fundamental, também apresentados acima:

$F_2=\left[\begin{array}{cc}L& M\\ M& N\end{array}\right].$

Definindo agora matriz $A=F_1^{-1}{F}_2$, as curvaturas principais κ₁ e κ₂ são os autovalores de A.

Agora, se v₁=(v₁₁,v₁₂) é o autovetor de A correspondente à curvatura principal κ₁, o vetor unitário na direção de ${\overrightarrow{t}}_1=v_{11}{\overrightarrow{r}}_u+v_{12}{\overrightarrow{r}}_v$ é chamado o vetor principal correspondente à curvatura principal κ₁.

Portanto, se v₂=(v₂₁,v₂₂) é o autovetor de A correspondente à curvatura principal κ₂, o vetor unitário na direção de ${\overrightarrow{t}}_2=v_{21}{\overrightarrow{r}}_u+v_{22}{\overrightarrow{r}}_v$ é chamado o vetor principal correspondente à curvatura principal κ₂.

Ver também

• Spline (matematica)
• Superfície normal

Ligações externas

• Java applets demonstrate the parametrization of a helix surface
• m-ART(3d) - iPad/iPhone application to generate and visualize parametric surfaces.