Diferenciação de funções trigonométricas

Função	Derivada
$\sin (x)$	$\cos (x)$
$\cos (x)$	$-\sin (x)$
$\tan (x)$	${\sec }^2(x)$
$\cot (x)$	$-{\csc }^2(x)$
$\sec (x)$	$\sec (x)\tan (x)$
$\csc (x)$	$-\csc (x)\cot (x)$
$\arcsin (x)$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos (x)$	$\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan (x)$	$\frac{1}{x^2+1}$

A diferenciação de funções trigonométricas é o processo matemático de encontrar a taxa na qual a função trigonométrica varia em relação a uma variável, isto é, a derivada da função trigonométrica. Funções comuns incluen sin(x), cos(x) e tan(x). Por exemplo, na diferenciação de f(x) = sin(x), calculamos a função f ′(x), que é a taxa de variação de sin(x) num certo ponto a. O valor da taxa de variação em a é portando dada por f ′(a).

Para calcular as derivadas de funções trigonométricas, é necessário ter conhecimento básico de diferenciação, além de conhecimento no uso de identidades trigonométricas e limites. Todas funções envolvem a variável arbitrária x, com todas diferenciações realizadas em relação a x.

Ao encontrarmos as derivadas das funções sin(x) e cos(x), podemos calcular as derivadas das outras funções trigonométricas com facilidade, devido ao fato delas poderem ser expressas em termos de seno e cosseno; a regra do quociente é utilizada para o cálculo de tais derivadas. As provas das derivadas das funções sin(x) e cos(x) são dadas na seção de provas. Encontrar as derivadas de funções trigonométricas inversas envolve diferenciação implícita e as derivadas das funções trigonométricas regulares, que são dadas na seção de provas.

Derivadas das funções trigonométricas e suas inversas

$(\sin (x))=\cos (x)$

$(\cos (x))=-\sin (x)$

$(\tan (x))=\left(\frac{\sin (x)}{\cos (x)}\right)=\frac{{\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)}{{\cos }^2(x)}=\frac{1}{{\cos }^2(x)}={\sec }^2(x)$

$(\cot (x))=\left(\frac{\cos (x)}{\sin (x)}\right)=\frac{-{\sin }^2(x)-{\cos }^2(x)}{{\sin }^2(x)}=-(1+{\cot }^2(x))=-{\csc }^2(x)$

$(\sec (x))=\left(\frac{1}{\cos (x)}\right)=\frac{\sin (x)}{{\cos }^2(x)}=\frac{1}{\cos (x)}.\frac{\sin (x)}{\cos (x)}=\sec (x)\tan (x)$

$(\csc (x))=\left(\frac{1}{\sin (x)}\right)=-\frac{\cos (x)}{{\sin }^2(x)}=-\frac{1}{\sin (x)}.\frac{\cos (x)}{\sin (x)}=-\csc (x)\cot (x)$

$(\arcsin (x))=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\arccos (x))=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\arctan (x))=\frac{1}{x^2+1}$

Provas das derivadas das funções seno e coseno

Limite de sin(θ)/θ para θ → 1

Considere a circunferência unitária exibida na imagem. Assuma que o ângulo θ, feito pelos raios OB e OC seja pequeno, e.g. menor que π/2 radianos, Predefinição:Nowrap Seja T₁ o triângulo com vértices O, B e C. Seja S o setor circular dado pelos raios OB e OC (i.e. a "fatia" dada cortando-se ao longo das retas OB e OC). Seja T₂ o triângulo com vértices O, B e D. Claramente, a área de T₁ é menor que a área de S, que por sua vez é menor que a área de T₂, i.e. Predefinição:Nowrap A área do triângulo é dada pela metade do produto entre sua base e sua altura. Usando u para denotar a unidade de medida utilizada, encontramos que a área de T₁ é exatamente Predefinição:Frac × ||OB|| × ||CA|| = Predefinição:Frac × 1 × sin(θ) = Predefinição:Frac·sin(θ) u². A área do setor circular S é exatamente Predefinição:Frac·θ u². Finalmente, a área do triângulo T₂ é exatamente Predefinição:Frac × ||OB|| × ||BD|| = Predefinição:Frac·tan(θ) u².

Como Predefinição:Nowrap encontramos que, para um θ pequeno,

$\frac{1}{2}\sin \theta <\frac{1}{2}\theta <\frac{1}{2}\tan \theta .$

(Lembre-se que Predefinição:Nowrap.) Se isto é verdade, então multiplicando por 2 temos Predefinição:Nowrap. Invertendo os termos, também invertemos as desigualdades, e.g. Predefinição:Nowrap enquanto Predefinição:Nowrap Segue-se que

$\frac{1}{\sin \theta }>\frac{1}{\theta }>\frac{\cos \theta }{\sin \theta }.$

Como θ é pequeno, e portanto menor que π/2 radianos, Predefinição:Nowrap, segue-se que Predefinição:Nowrap Podemos multiplicar ambos lados por sin(θ), que é positivo, sem alterar a desigualdade; portanto:

$1>\frac{\sin \theta }{\theta }>\cos \theta .$

Isto nos diz que para um θ muito pequeno, sin(θ)/θ é menor que um, mas maior que cos(θ). Porém, com θ diminuindo, cos(θ) cresce e se aproxima de 1 (see the cosine graph). A desigualdade nos diz que sin(θ)/θ é sempre menor que 1 e maior que cos(θ); mas conforme 'θ diminui, cos(θ) se aproxima de 1. Portanto, sin(θ)/θ é "esmagado" (ver teorema do confronto por 1 e cos(θ) quando θ decresce. Isto faz com que sin(θ)/θ se aproxime a 1.

Limite de [cos(θ) – 1]/θ para θ → 0

Esta última seção nos permite calcular este novo limite com facilidade. Sabemos que

$\underset{\theta \to 0}{\lim }\left(\frac{\cos \theta -1}{\theta }\right)=\underset{\theta \to 0}{\lim }\left[\left(\frac{\cos \theta -1}{\theta }\right)\left(\frac{\cos \theta +1}{\cos \theta +1}\right)\right]=\underset{\theta \to 0}{\lim }\left(\frac{{\cos }^2\theta -1}{\theta (\cos \theta +1)}\right).$

A identidade Predefinição:Nowrap nos diz que Predefinição:Nowrap Usando isto, o fato de o limite do produto ser o produto do limite, e o resultado da última seção, encontramos

$\underset{\theta \to 0}{\lim }\left(\frac{\cos \theta -1}{\theta }\right)=\underset{\theta \to 0}{\lim }\left(\frac{-{\sin }^2\theta }{\theta (\cos \theta +1)}\right)=\underset{\theta \to 0}{\lim }\left(\frac{-\sin \theta }{\theta }\right)\times \underset{\theta \to 0}{\lim }\left(\frac{\sin \theta }{\cos \theta +1}\right)=(-1)\times \frac{0}{2}=0.$

Derivada da função seno

Para calcular a derivada da função seno, sin(θ), usamos princípios básicos de derivação. Por definição:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\sin \theta =\underset{\delta \to 0}{\lim }\left(\frac{\sin (\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }\right).$

Usando a conhecida fórmula Predefinição:Nowrap e os limites calculados acima, encontramos que

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\sin \theta =\underset{\delta \to 0}{\lim }\left(\frac{\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }\right)=\underset{\delta \to 0}{\lim }[(\frac{\sin \delta }{\delta }\cos \theta )+(\frac{\cos \delta -1}{\delta }\sin \theta )]=(1\times \cos \theta )+(0\times \sin \theta )=\cos \theta .$

Derivada da função coseno

Para calcular a derivada da função cosseno, cos(θ) usamos princípios básicos de diferenciação. Por definição:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\cos \theta =\underset{\delta \to 0}{\lim }\left(\frac{\cos (\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }\right).$

Usando a conhecida fórmula Predefinição:Nowrap e os dois limites calculados acima, encontramos que

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\cos \theta =\underset{\delta \to 0}{\lim }\left(\frac{\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }\right)=\underset{\delta \to 0}{\lim }[(\frac{\cos \delta -1}{\delta }\cos \theta )-(\frac{\sin \delta }{\delta }\sin \theta )]=(0\times \cos \theta )-(1\times \sin \theta )=-\sin \theta .$

Provas das derivadas das funções trigonométricas inversas

Nas provas abaixo, igualamos y a função trigonométrica inversa que queremos derivar. Usando diferenciação implícita e resolvendo para dy/dx, a derivada da função inversa é encontrada em termos de y. Para converter dy/dx de volta em termos de x, podemos desenhar um triângulo de referência na circunferência unitária, igualando θ a y. Usando o teorema de Pitágoras e as definições das funções básicas trigonométricas, podemos finalmente expressar dy/dx em termos de x.

Diferenciando a inversa da função seno

Fazemos

$y=\arcsin x$

Onde

$-\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2}$

Então

$\sin y=x$

Usando diferenciação implícita e resolvendo para dy/dx:

$\frac{d}{dx}\sin y=\frac{d}{dx}x$

$\frac{dy}{dx}\cos y=1$

Substituindo $\cos y=\sqrt{1-{\sin }^{2}y}$ acima,

$\frac{dy}{dx}\sqrt{1-{\sin }^{2}y}=1$

Substituindo $x=\sin y$ acima,

$\frac{dy}{dx}\sqrt{1-x^2}=1$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Diferenciando a inversa da função cosseno

Fazemos

$y=\arccos x$

Onde

$0\le y\le \pi$

Então

$\cos y=x$

Usando diferenciação implícita e resolvendo para dy/dx:

$\frac{d}{dx}\cos y=\frac{d}{dx}x$

$-\frac{dy}{dx}\sin y=1$

Substituindo $\sin y=\sqrt{1-{\cos }^{2}y}$ acima, temos

$-\frac{dy}{dx}\sqrt{1-{\cos }^{2}y}=1$

Substituindo $x=\cos y$ acima, temos

$-\frac{dy}{dx}\sqrt{1-x^2}=1$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Diferenciando a função tangente inversa

Fazemos

$y=\arctan x$

Onde

$-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}$

Então

$\tan y=x$

Usando diferenciação implícita e resolvendo para dy/dx:

$\frac{d}{dx}\tan y=\frac{d}{dx}x$

$\frac{dy}{dx}{\sec }^{2}y=1$

Derivando e substituindo em $1+{\tan }^{2}y={\sec }^{2}y$ dada a expressão acima,

$\frac{dy}{dx}(1+{\tan }^{2}y)=1$

Substituindo $x=\tan y$ acima,

$\frac{dy}{dx}(1+x^2)=1$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}$

Ver também

• Trigonometria
• Cálculo
• Derivada

Bibliografia

• Handbook of Mathematical Functions, Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964).