Equação de Poisson

Predefinição:Mais notas Em matemática, a equação de Poisson é uma equação diferencial parcial com uma ampla utilidade em eletrostática, engenharia mecânica e física teórica. O seu nome é derivado do matemático e físico francês Siméon Denis Poisson.

Definição

Em um conjunto aberto $U\subset {ℝ}^n$, a equação de Poisson é definida por:

$\mathrm{\Delta }\phi =f$

onde, $f:U\to ℝ$ é uma função chamada de termo fonte e $\mathrm{\Delta }$ denota o operador de Laplace (ou, laplaciano):

$\mathrm{\Delta }\phi :=\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x_i^2}$

Aqui, a incógnita $\phi$ é uma função de $U\subset {ℝ}^n$ em $ℝ.$ Em muitos textos, o operador laplaciano é denotado por ${\mathrm{\nabla }}^2$. Esta notação é motivada pelo fato de que $\mathrm{\Delta }=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }$, onde $\mathrm{\nabla }$ denota o gradiente. Quando $f\equiv 0$ a equação é chamada de equação de Laplace.

Caso em duas dimensões

Em duas dimensões, i.e. no espaço euclidiano ${ℝ}^2$, a equação de Poisson toma a forma (em coordenadas cartesianas):

$\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\phi }{\partial y^2}=f(x,y)$.

Em coordenadas polares $(r,\theta )$, a equação torna-se:

$\frac{{\partial }^{2}g}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial g}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}g}{\partial {\theta }^2}=h(r,\theta )$,

Para obter esta equação faz-se as mudanças de variáveis $x=r\text{cos }\theta$, $y=r\text{sen }\theta$, $g(r,\theta )=\phi (r\text{cos }\theta ,r\text{sen }\theta )$ e $h(r,\theta )=\varphi (r\text{cos }\theta ,r\text{sen }\theta )$.

Caso em três dimensões

Em três dimensões, i.e. no espaço euclidiano ${ℝ}^3$, a equação de Poisson toma a forma (em coordenadas cartesianas):

$\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\phi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\phi }{\partial z^2}=f(x,y,z)$.

Em coordenadas cilíndricas $(\rho ,\theta ,z)$, a equação torna-se:

$\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial g}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}g}{\partial {\theta }^2}+\frac{{\partial }^{2}g}{\partial z^2}=h(\rho ,\theta ,z)$

Pode-se obter esta fazendo as mudanças de variáveis $x=r\text{cos }\theta$, $y=r\text{sen }\theta$, $z=z$, $g(r,\theta ,z)=\phi (r\text{cos }\theta ,r\text{sen }\theta ,z)$ e $h(r,\theta ,z)=\varphi (r\text{cos }\theta ,r\text{sen }\theta ,z)$.

Em coordenadas esféricas $(r,\varphi ,\theta )$, a equação toma a forma:

$\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial g}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \varphi }\frac{\partial }{\partial \varphi }(\sin \varphi \frac{\partial g}{\partial \varphi })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\varphi }\frac{{\partial }^{2}g}{\partial {\theta }^2}=h(r,\varphi ,\theta )$.

Soluções

Para resolver uma equação de Poisson podem-se utilizar vários métodos como, por exemplo, uma função de Green ou métodos numéricos como o método das diferenças finitas (MDF), o método dos elementos finitos (MEF) ou o Element Free-Gallerkin Method (EFGM).

Solução em Rⁿ

Pode-se obter uma solução clássica para a equação de Poisson em ${ℝ}^n$:

$-\mathrm{\Delta }\phi =g$

supondo $g\in C_c^2({ℝ}^n,ℝ)$, i.e. $g$ é duas vezes continuamente diferenciável com suporte compacto. Neste caso, a solução é dada por:

$\phi (x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }\mathrm{\Phi }(x-y)g(y)dy$

onde, $\mathrm{\Phi }:{ℝ}^n-0\to ℝ$ é a solução fundamental da equação de Laplace.

Demonstração

Mostraremos, primeiro, que $\phi \in C^2({ℝ}^n,ℝ).$ Note que:

$\phi (x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }\mathrm{\Phi }(y)g(x-y)dy$.

Como $g\in C_c^2({ℝ}^n,ℝ)$, temos

$\frac{\partial \phi }{\partial x_i}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\phi (x+h\cdot e_i)-\phi (x)}{h}=\underset{{ℝ}^n}{\int }\mathrm{\Phi }(y)\left[\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x+h{e}_i-y)-g(x-y)}{h}\right]dy=\underset{{ℝ}^n}{\int }\mathrm{\Phi }(y)\frac{\partial g}{\partial x_i}(x-y)dy$

e, de forma análoga, temos

$\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x_i^2}=\underset{{ℝ}^n}{\int }\mathrm{\Phi }(y)\frac{\partial g^2}{\partial x_i^2}(x-y)dy$

o que mostra que $\phi \in C^2({ℝ}^n,ℝ).$ No cálculo acima, $e_i$ denota o $i$-ésimo vetor da base canônica do ${ℝ}^n$.

Mostraremos, agora, $-\mathrm{\Delta }\phi =g$. Como $\mathrm{\Phi }$ tem uma singularidade em $0$, tomamos $\epsilon >0$ e escrevemos:

(1)\quad $\mathrm{\Delta }\phi (x)=\underset{B(0,\epsilon )}{\int }\mathrm{\Phi }(y){\mathrm{\Delta }}_{x}g(x-y)dy+\underset{{ℝ}^n-B(x,\epsilon )}{\int }\mathrm{\Phi }(y){\mathrm{\Delta }}_{x}g(x-y)dy$

Aqui, $B(0,\epsilon )$ denota a bola de centro $0$ e raio $\epsilon$. Estimando o primeiro termo, vemos que:

(2)\quad $|\underset{B(0,ϵ)}{\int }\mathrm{\Phi }(y){\mathrm{\Delta }}_{x}g(x-y)dy|\le \{\begin{array}{cc}C||D^{2}g|{|}_{\mathrm{\infty }}{\epsilon }^2|\ln \epsilon |& ,n=2\\ C||D^{2}g|{|}_{\mathrm{\infty }}{\epsilon }^2& ,n\ge 3\end{array}$

Aqui, $||\cdot |{|}_{\mathrm{\infty }}$ denota a norma $L_{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$. Já o segundo termo pode ser integrado por partes, o que nos fornece:

(3)\quad $\underset{{ℝ}^n-B(x,ϵ)}{\int }\mathrm{\Phi }(y){\mathrm{\Delta }}_{x}g(x-y)dy=-\underset{{ℝ}^n-B(0,\epsilon )}{\int }D\mathrm{\Phi }(y)\cdot D_{y}g(x-y)dy+\underset{\partial B(0,\epsilon )}{\int }\mathrm{\Phi }(y)\frac{\partial g}{\partial \nu }(x-y)dS(y)$

Aqui, $\frac{\partial g}{\partial \nu }$ denota a derivada normal de $g$. Estimando este último termo, obtemos:

(4)\quad $|\underset{\partial B(0,\epsilon )}{\int }\mathrm{\Phi }(y)\frac{\partial g}{\partial \nu }(x-y)dS(y)|\le \{\begin{array}{cc}C||Dg|{|}_{\mathrm{\infty }}\epsilon |\ln \epsilon |& ,n=2\\ C||Dg|{|}_{\mathrm{\infty }}\epsilon & ,n\ge 3\end{array}$

Se integrarmos por partes o penúltimo termo de (3) novamente, vemos que:

(5)\quad $-\underset{{ℝ}^n-B(0,\epsilon )}{\int }D\mathrm{\Phi }(y)\cdot D_{y}g(x-y)dy=\underset{{ℝ}^n-B(0,\epsilon )}{\int }\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }(y)g(x-y)dy-\underset{\partial B(0,ϵ)}{\int }\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \nu }(y)g(x-y)dS(y)$

Aqui, o penúltimo termo é nulo, pois $\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }\equiv 0$ em ${ℝ}^n-B(0,\epsilon )$. E, este último termo é tal que:

(6)\quad $\underset{\partial B(0,ϵ)}{\int }\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \nu }(y)g(x-y)dS(y)=\frac{1}{n\alpha (n){\epsilon }^{n-1}}\underset{\partial B(x,\epsilon )}{\int }g(y)dS(y)\to g(x)\text{quando}\epsilon \to 0$

pois, notemos que o termo a direita deste símbolo de igualdade é a média de $g$ sobre a fronteira da bola $B(x,\epsilon )$. Voltando a (1) e usando as conclusões de (2)-(6), concluímos que $-\mathrm{\Delta }\phi =g$.

Condições de contorno

A equação de Poisson em domínios limitados deve ser complementada com condições de contorno.

Condição de contorno de Dirichlet

Diz que a equação de Poisson tem condições de contorno de Dirichlet quando a função incógnita $\phi$ é explicitamente descrita no contorno do domínio, i.e.:

$\begin{array}{cccc}\mathrm{△}\phi & =& f,& x\in D\\ \phi & =& g,& x\in \partial D\end{array}.$

Unicidade

Como consequência do princípio do máximo forte para funções harmônicas, mostra-se que se $D$ é conexo, $\phi \in C^2(D)\cap C(\overline{D})$ e $g\in C(\partial D)$, então existe no máximo uma solução para o problema de Dirichlet sobre tais hipóteses.

A unicidade de solução também é garantida mesmo que $D$ não seja conexo. Com efeito, assumindo $D$ aberto, limitado, $\partial D\in C^1$ e $\phi ,\tilde{\phi }\in C^2(U)$ duas soluções do mesmo problema acima, então tomando $u=\phi -\tilde{\phi }$ temos:

$\begin{array}{cccc}\mathrm{△}u& =& 0,& x\in D\\ u& =& 0,& x\in \partial D\end{array}.$

Agora, usando de integração por partes, obtemos:

$\underset{D}{\int }\Vert Du{\Vert }^{2}dx=-\underset{D}{\int }u\mathrm{\Delta }udx=0$

o que implica que $Du=0$ que, por sua vez, implica $u$ constante. Como $u=0$ em $\partial D$, temos $u=0$ em $\overline{D}$, i.e. $\phi =\tilde{\phi }$, como queríamos demonstrar.

Condição de contorno de Neumann

Diz que a equação de Poisson tem condições de contorno de Neumann quando a derivada normal da função incógnita $\phi$ é explicitamente descrita no contorno do domínio, i.e.:

$\begin{array}{cccc}\mathrm{△}\phi & =& f,& x\in D\\ \frac{\partial }{\partial \eta }\phi & =& g,& x\in \partial D\end{array}.$