Extensão de Kan

Na teoria das categorias, a extensão de Kan trata do problema de aproximar um functor por outro functor definido em outra categoria. O conceito recebe o nome de Daniel Kan, que começou a estudar casos particulares em 1958. Maiores aplicações da teoria de extensões de Kan surgiram na álgebra homológica, com o estudo de functores derivados.

Definição

Sejam functores Predefinição:Math e Predefinição:Math. Uma extensão de Kan esquerda de Predefinição:Math ao longo de Predefinição:Math é um functor Predefinição:Math junto a um isomorfismo

Predefinição:Math

natural em Predefinição:Math. Noutras palavras, existe transformação natural Predefinição:Math tal que, para qualquer functor Predefinição:Math e qualquer transformação natural Predefinição:Math, existe única transformação natural Predefinição:Math tal que Predefinição:Math.

Dualmente, uma extensão de Kan direita de Predefinição:Math ao longo de Predefinição:Math é um functor Predefinição:Math junto a um isomorfismo

Predefinição:Math

natural em Predefinição:Math. Noutras palavras, existe transformação natural Predefinição:Math tal que, para qualquer functor Predefinição:Math e qualquer transformação natural Predefinição:Math, existe única transformação natural Predefinição:Math tal que Predefinição:Math.

Se todos os functores Predefinição:Math admitem extensão de Kan esquerda ao longo de Predefinição:Math, o functor Predefinição:Math admite adjunto esquerdo Predefinição:Math. Dualmente, se todos os functores Predefinição:Math admitem extensão de Kan direita ao longo de Predefinição:Math, o functor Predefinição:Math admite adjunto direito Predefinição:Math.

Exemplos

• Considere Predefinição:Math, Predefinição:Math, Predefinição:Math como a identidade e Predefinição:Math como a inclusão. (Toda pré-ordem pode ser considerada como uma categoria.) Então, a extensão de Kan esquerda de Predefinição:Math ao longo de Predefinição:Math é a função teto e a extensão de Kan direita de Predefinição:Math ao longo de Predefinição:Math é a função piso. Com efeito, se Predefinição:Math e Predefinição:Math, vale Predefinição:Math sse Predefinição:Math, e Predefinição:Math sse Predefinição:Math.
• Representações lineares de um grupo Predefinição:Math são functores de Predefinição:Math (categoria de um objeto e morfismos correspondentes aos elementos de Predefinição:Math) à categoria Predefinição:Math dos espaços vetoriais sobre um corpo Predefinição:Math. Toda representação linear de subgrupo Predefinição:Math admite extensão de Kan esquerda (chamada representação induzida) e extensão de Kan direita (chamada representação coinduzida), ao longo da inclusão Predefinição:Math.

Fórmula para extensões de Kan

Dados functores Predefinição:Math e Predefinição:Math, tem-se fórmula para a extensão de Kan esquerda (desde que o colimite abaixo exista):Predefinição:Âncora $${\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{n}}_K(F)(d):=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}(K\downarrow d\stackrel{P}{\to }C\stackrel{F}{\to }E)$$ onde Predefinição:Math denota uma categoria vírgula, e Predefinição:Math projeção na primeira componente.

Dualmente, tem-se fórmula para a extensão de Kan direita (desde que o limite abaixo exista):Predefinição:Âncora $${\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{n}}_K(F)(d):=\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}(d\downarrow K\stackrel{Q}{\to }C\stackrel{F}{\to }E)$$

Alguns exemplos de aplicação da fórmula.

• Sejam Predefinição:Math, Predefinição:Math, Predefinição:Math a função Predefinição:Math, e Predefinição:Math a inclusão. Então, as extensões de Kan esquerda e direita de Predefinição:Math ao longo de Predefinição:Math coincidem, porque, para cada Predefinição:Math:

$$\begin{array}{cc}{2}^d& =\sup \{2^q\mid \mathbb{Q}\ni q\le d\}\\ & =\inf \{2^q\mid d\le q\in \mathbb{Q}\}\end{array}$$

• Dada categoria pequena Predefinição:Math, a categoria Predefinição:Math é a "cocompletação livre" de Predefinição:Math. Isto é, sendo Predefinição:Math a imersão de Yoneda, para cada categoria cocompleta Predefinição:Math, para cada functor Predefinição:Math, existe functor Predefinição:Math preservando colimites tal que Predefinição:Math, dado pela fórmula:$$L(F)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}(\int F\to C\stackrel{A}{\to }E)$$onde Predefinição:Math denota a categoria de elementos de Predefinição:Math.

Extensão de Kan pontual

Sejam functores Predefinição:Math e Predefinição:Math. Um functor Predefinição:Math é dito preservar uma extensão de Kan esquerda Predefinição:Math quando Predefinição:Math é uma extensão de Kan esquerda de Predefinição:Math ao longo de Predefinição:Math. Adjuntos esquerdos preservam todas as extensões de Kan esquerdas. Similarmente, adjuntos direitos preservam todas as extensões de Kan direitas.

Uma extensão de Kan direita Predefinição:Math é dita ser pontual quando é preservada pelo functor representável Predefinição:Math para cada Predefinição:Math. Já uma extensão de Kan esquerda Predefinição:Math é dita ser pontual quando Predefinição:Math é extensão de Kan direita pontual (do functor Predefinição:Math ao longo do functor Predefinição:Math).

Uma extensão de Kan direita é pontual se e só se é dada pela fórmula em termos de limite da seção #Fórmula para extensões de Kan acima. Dualmente, uma extensão de Kan esquerda é pontual se e só se é dada pela fórmula em termos de colimite acima.

Aplicações

A seguir, algumas situações nas quais extensões de Kan são usadas.

• Determinação de functores derivados em categorias homotópicas (que incluem os functores Ext e Tor).
• Identificação de functores (co)densos (a grosso modo, quando objetos são (co)limites de objetos de uma subcategoria dada).
• Estudo de mônades de codensidade, que generalizam mônades induzidas por adjunções.

Bibliografia

• Predefinição:Citation
• Predefinição:Citation