Lista de transformadas de Laplace

A tabela a seguir provê as transformadas de Laplace para as funções mais comuns de uma variável. Para definições e exemplos, veja a nota explanatória no fim da tabela.

A transformada de Laplace é definida como:

$F(s)=ℒ\{f(s)\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt.$

Porque a transformada de Laplace é um operador linear:

• A transformada de Laplace de uma soma é a soma das transformadas de Laplace de cada termo.

$ℒ\{f(t)+g(t)\}=ℒ\{f(t)\}+ℒ\{g(t)\}$

• A transformada de Laplace de um múltiplo de uma função é o múltiplo vezes a transformada de Laplace da função.

$ℒ\{af(t)\}=aℒ\{f(t)\}$

Usando a propriedade da linearidade e as relações/identidades trigonométricas, hiperbólicas e complexas, algumas transformadas de Laplace podem ser obtidas de outras mais rápida do que diretamente pela definição.

A unilateralidade da transformada de Laplace toma como entrada uma função cujo domínio são os reais não negativos, este é o motivo de todas as funções no domínio de tempo na tabela abaixo serem múltiplas da Função de Heaviside, u(t). As entradas desta tabela que envolvem um tempo de atraso $\tau$ são obrigadas a serem causais (para $\tau$ > 0). Um sistema causal é um sistema em que a resposta ao impulso h(t) é zero para todo tempo t prévio a t = 0. Em geral, a região de convergência para um sistema causal não é o mesmo para um sistema anti-causal.

Função	Domínio de tempo $f(t)={ℒ}^{-1}\{F(s)\}$	Laplace s-domínio $F(s)=ℒ\{f(t)\}$	Região de Convergência	Referência
impulso unitário	$\delta (t)$	$1$	todo s	inspeção
impulso atrasado	$\delta (t-\tau )$	$e^{-\tau s}$		mudança de tempo do impulso unitário
Degrau Unitário	$u(t)$	$\frac{1}{s}$	Re(s) > 0	integral do impulso unitário
Função Constante	$k\cdot u(t)$	$k/s$	Re(s) > 0	Convolução
passo único atrasado	$u(t-\tau )$	$\frac{1}{s}{e}^{-\tau s}$	Re(s) > 0	mudança de tempo do passo único
rampa	$t\cdot u(t)$	$\frac{1}{s^2}$	Re(s) > 0	integral do impulso unitário duas vezes
n-ésima potência ( para n inteiro)	$t^n\cdot u(t)$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$	Re(s) > 0 (n > −1)	Integral do passo único n vezes
q-ésima potência (para q complexo)	$t^q\cdot u(t)$	$\frac{\mathrm{\Gamma }(q+1)}{s^{q+1}}$	Re(s) > 0 Re(q) > −1
n-ésima raiz	$\sqrt[n]{t}\cdot u(t)$	$\frac{1}{s^{\frac{1}{n}+1}}\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{n}+1)$	Re(s) > 0	Deixe q = 1/n acima.
n-ésima potência com mudança de frequência	$t^n{e}^{-\alpha t}\cdot u(t)$	$\frac{n!}{(s+\alpha {)}^{n+1}}$	Re(s) > −α	Integral do passo único aplique a mudança de frequência
n-ésima potência atrasada com mudança de frequência	$(t-\tau {)}^n{e}^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	$\frac{n!\cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha {)}^{n+1}}$	Re(s) > −α	Integral do passo único, aplique a mudança de frequência, aplique a mudança de tempo
Decaimento exponencial	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	$\frac{1}{s+\alpha }$	Re(s) > −α	Mudança de frequência do passo único
Decaimento exponencial bilateral	$e^{-\alpha |t|}$	$\frac{2\alpha }{{\alpha }^2-s^2}$	−α < Re(s) < α	Mudança de frequência do passo único
Exponencial genérica	$a^t\cdot u(t)$	$1/(s-ln(a))$	Re(s) > ln(a)	Adaptação da transformada do decaimento exponencial
aproximação exponencial	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)$	$\frac{\alpha }{s(s+\alpha )}$	Re(s) > 0	passo único menos decaimento exponencial
Seno	$\sin (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$	Re(s) > 0	Predefinição:Harvnb
Cosseno	$\cos (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$	Re(s) > 0	Predefinição:Harvnb
Seno hiperbólico	$\sinh (\alpha t)\cdot u(t)$	$\frac{\alpha }{s^2-{\alpha }^2}$	Re(s) > |α|	Predefinição:Harvnb
Cosseno hiperbólico	$\cosh (\alpha t)\cdot u(t)$	$\frac{s}{s^2-{\alpha }^2}$	Re(s) > |α|	Predefinição:Harvnb
decaimento exponencial onda senoidal	$e^{-\alpha t}\sin (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{\omega }{(s+\alpha {)}^2+{\omega }^2}$	Re(s) > −α	Predefinição:Harvnb
decaimento exponencial onda cossenoidal	$e^{-\alpha t}\cos (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{s+\alpha }{(s+\alpha {)}^2+{\omega }^2}$	Re(s) > −α	Predefinição:Harvnb
Logaritmo natural	$\ln (t)\cdot u(t)$	$-\frac{1}{s}[\ln (s)+\gamma ]$	Re(s) > 0	Predefinição:Harvnb
Logaritmo genérico	$lo{g}_a(x)\cdot u(t)$	$-(ln(s)+\gamma )/(s\cdot ln(a))$	Re(s) > 0	Adaptação da transformada do logaritmo natural
Função de Bessel de primeira espécie, de ordem n	$J_n(\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{{(\sqrt{s^2+{\omega }^2}-s)}^n}{{\omega }^n\sqrt{s^2+{\omega }^2}}$	Re(s) > 0 (n > −1)	Predefinição:Harvnb
Função erro	$\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(t)\cdot u(t)$	$\frac{1}{s}{e}^{\frac{1}{4}{s}^2}(1-\mathrm{erf}\frac{s}{2})$	Re(s) > 0	Predefinição:Harvnb
decaimento exponencial onda cossenoidal deslocada (I)	$e^{-\alpha t}\cos (\omega t+\theta )\cdot u(t)$	$\frac{\cos (\theta )s+\alpha \cos (\theta )-\omega \sin (\theta )}{s^2+2\alpha s+{\alpha }^2+{\omega }^2}$	Re(s) > −α
decaimento exponencial onda cossenoidal deslocada (II)	$C{e}^{-\alpha t}\cos (\omega t+\theta )\cdot u(t)$	$\frac{As+B}{s^2+2\alpha s+\beta }$ $\omega =\sqrt{\beta -{\alpha }^2}$ $C=\frac{1}{\omega }\sqrt{A^2\beta +B^2-2AB\alpha }$ $\theta ={\tan }^{-1}\left(\frac{A\alpha -B}{A\omega }\right)$	Re(s) > −α
decaimento exponencial onda cossenoidal deslocada (III)	$e^{-\alpha t}[A\cos (\omega t)-\frac{B-A\alpha }{\omega }\sin (\omega t)]\cdot u(t)$	$\frac{As+B}{s^2+2\alpha s+\beta }$ $\omega =\sqrt{\beta -{\alpha }^2}$	Re(s) > −α
Produto de exponencial por seno hiperbólico	$\exp (-at)sinh(bt)\cdot u(t)$	$b/(s+a)(s^2-b^2)$	Re(s) > Max(-a,|b|)	Convolução
Produto de exponencial por cosseno hiperbólico	$\exp (-at)cosh(bt)\cdot u(t)$	$s/(s+a)(s^2-b^2)$	Re(s) > Max(-a,|b|)	Convolução
Produto de exponencial por logaritmo natural	$\exp (-at)\ln (t)\cdot u(t)$	$-[ln(s)+\gamma ]/(s^2+sa)$	Re(s) > Max(-a,0)	Convolução
Produto de monômio por seno	$t^{n}sin(\omega t)\cdot u(t)$	$n!\omega /s^n(s^3+{\omega }^{2}s)$	Re(s) > 0	Convolução
Produto de monômio por cosseno	$t^{n}cos(\omega t)\cdot u(t)$	$n!s/s^n(s^3+{\omega }^{2}s)$	Re(s) > 0	Convolução
Produto de monômio por seno hiperbólico	$t^{n}sinh(at)\cdot u(t)$	$n!a/s^n(s^3-a^{2}s)$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de monômio por cosseno hiperbólico	$t^{n}cosh(at)\cdot u(t)$	$n!s/s^n(s^3-a^{2}s)$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de monômio por função erro	$t^{n}erf(t)\cdot u(t)$	$n!\exp (s^2/4)(1-erf(s/2))/s^2{s}^n$	Re(s) > 0	Convolução
Produto de monômio por logaritmo natural	$t^{n}ln(t)\cdot u(t)$	$n![ln(s)+\gamma ]/s^2{s}^n$	Re(s) > 0	Convolução
Produto de seno por cosseno	$sin(at)cos(bt)\cdot u(t)$	$sb/(s^2+a^2)(s^2+b^2)$	Re(s) > 0	Convolução
Produto de seno por seno hiperbólico	$sin(\omega t)sinh(at)\cdot u(t)$	$a\omega /(s^2-a^2)(s^2+{\omega }^2)$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de seno por cosseno hiperbólico	$sin(\omega t)cosh(at)\cdot u(t)$	$s\omega /(s^2-a^2)(s^2+{\omega }^2)$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de seno por logaritmo natural	$sin(at)ln(t)\cdot u(t)$	$\omega [ln(s)+\gamma ]/(s^3+s{\omega }^2)$	Re(s) > 0	Convolução
Produto de cosseno por seno hiperbólico	$cos(\omega t)sinh(at)\cdot u(t)$	$as/(s^2-a^2)(s^2+{\omega }^2)$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de cosseno por cosseno hiperbólico	$cos(\omega t)cosh(at)\cdot u(t)$	$s^2/(s^2-a^2)(s^2+{\omega }^2)$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de cosseno por função erro	$cos(\omega t)erf(t)\cdot u(t)$	$\exp (s^2/4)(1-erf(s/2))/(s^2+{\omega }^2)$	Re(s) > 0	Convolução
Produto de cosseno por logaritmo natural	$cos(\omega t)ln(t)\cdot u(t)$	$[ln(s)+\gamma ]/(s^2+{\omega }^2)$	Re(s) > 0	Convolução
Produto de seno hiperbólico por cosseno hiperbólico	$sinh(at)cosh(bt)\cdot u(t)$	$sa/(s^2-a^2)(s^2-b^2)$	Re(s) > Max(|a|, |b|)	Convolução
Produto de seno hiperbólico por função erro	$sinh(at)erf(t)\cdot u(t)$	$a\exp (s^2/4)(1-erf(s/2))/(s^3-a^{2}s)$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de seno hiperbólico por logaritmo natural	$sinh(at)ln(t)\cdot u(t)$	$a[ln(s)+\gamma ]/(s^3-a^{2}s)$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de cosseno hiperbólico por função erro	$cosh(at)erf(t)\cdot u(t)$	$\exp (s^2/4)(1-erf(s/2))/(s^2-a^2)$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de cosseno hiperbólico por logaritmo natural	$cosh(at)ln(t)\cdot u(t)$	$[ln(s)+\gamma ]/(s^2-a^2)$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de função erro por logaritmo natural	$erf(t)ln(t)\cdot u(t)$	$\exp (s^2/4)(1-erf(s/2))[ln(s)+\gamma ]/s^2$	Re(s) > 0	Convolução
Tangente de t	$\tan (t)$	$-\frac{i}{s}-\frac{i}{2}(\pi \csc h(\frac{\pi s}{2}))-\frac{1}{2\psi }(\frac{1}{2}+\frac{si}{4})+\psi (\frac{si}{8})$	Re(s) > 0	Inspeção
Cotangente de t	$\cot (t)$	$\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{exp(-pt)\cot (t)dt}{1+exp(-p\pi )}$	Re(s) > 0	Inspeção
Secante de t	$\sec (t)$	$-\frac{i}{2}(\pi \sec h(\frac{\pi s}{2}))-\psi (\frac{1}{4}+\frac{si}{4})+\psi (\frac{si}{4}+\frac{3}{4})$	Re(s) > 0	Inspeção
Cossecante de t	$\csc (t)$	$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{exp(-st)\csc (t)dt}{1-exp(-2s\pi )}$	Re(s) > 0	Inspeção
Tangente hiperbólico de t	$\tanh (t)$	$\frac{1}{2s}(-s\psi (\frac{s}{4})+s\psi (\frac{s+2}{4}))$	Re(s) > 0	Inspeção
Cotangente hiperbólico de t	$\coth (t)$	$\underset{0}{\overset{i\pi }{\int }}\frac{exp(-st)\coth (t)dt}{1-exp(-is\pi )}$	Re(s) > 0	Inspeção
Secante hiperbólico de t	$\sec h(t)$	$\frac{1}{2}(\psi (\frac{s+3}{4})-\psi (\frac{s+1}{4}))$	Re(s) > 0	Inspeção
Cossecante hiperbólico de t	$\csc h(t)$	$\underset{0}{\overset{2i\pi }{\int }}\frac{exp(-st)\csc h(t)dt}{1-exp(-2is\pi )}$	Re(s) > 0	Inspeção
'a' seno de t	$a\sin (t)$	$\frac{i\pi (iLo(s)+Yo(-is)}{2s}$	Re(s) > 0	Inspeção
'a' cosseno de t	$a\cos (t)$	$\frac{(\pi Lo(s)-\pi Io(s)+2iKo(s)+\pi )}{2s}$	Re(s) > 0	Inspeção
'a' tangente de t	$a\tan (t)$	$\frac{(2Ci(s)\sin (s))+(\pi -2Si(s))\cos (s)}{2s}$	Re(s) > 0	Inspeção
'a' seno hiperbólico de t	$a\sin h(t)$	$\frac{\pi (Ho(s)-Yo(s))}{2s}$	Re(s) > 0	Inspeção
Seno de t ao quadrado	$\sin (t^2)$	$\frac{\sqrt{\frac{\pi }{2}}}{2}[(-2C(\frac{s}{\sqrt{2\pi }})\cos (\frac{s^2}{4})-2S(\frac{s}{\sqrt{2\pi }})\sin (\frac{s^2}{4}))+\sin (\frac{s^2}{4})+\sqrt{s^{-4}}{s}^2\cos (\frac{s^2}{4})]$	Re(s) > 0	Inspeção
Cosseno de t ao quadrado	$\cos (t^2)$	$\frac{\sqrt{\frac{\pi }{2}}}{2}[(2C(\frac{s}{\sqrt{2\pi }})-1)\sin (\frac{s^2}{4})-2S(\frac{s}{\sqrt{2\pi }})\cos (\frac{s^2}{4})+\cos (\frac{s^2}{4})]$	Re(s) > 0	Inspeção
Seno hiperbólico de t ao quadrado	$\sin h(t^2)$	$\frac{(2F(\frac{s}{2})-\sqrt{(}\pi )e^{(\frac{s^2}{4})}erfc(\frac{s}{2}))}{4}$	Re(s) > 0	Inspeção
Cosseno hiperbólico de t ao quadrado	$\cos h(t^2)$	$\frac{(2F(\frac{s}{2})+\sqrt{(}\pi )e^{(\frac{s^2}{4})}erfc(\frac{s}{2}))}{4}$	Re(s) > 0	Inspeção
Nota explicatória: u(t) representa a Função de Heaviside. $\delta (t)$ representa a Delta de Dirac. Γ(z) representa a Função gama. γ é a Constante de Euler-Mascheroni. t, um número real, tipicamente representa tempo, embora possa representar qualquer dimensão independente. s é a Frequência angular complexa, e Re(s) é sua parte real. α, β, τ, e ω são números reais. n é um Número inteiro.