Quatro quatros

O objetivo do problema dos quatro quatros é formar números inteiros usando quatro algarismos 4 e operações aritméticas elementares. Por exemplo, para formar o número 3, podemos fazer 3 = (4 + 4 + 4) / 4.

Problema

O problema dos quatro quatros foi apresentado na obra O Homem que Calculava, do autor brasileiro Júlio César de Mello e Souza, sob o heterônimo Malba Tahan. O problema consiste em formar expressões aritméticas utilizando apenas quatro algarismos 4, equivalentes, cada um, aos números inteiros.

Segundo o autor, é possível formar todos os números inteiros entre 0 e 100, utilizando, além dos números, quaisquer sinais e operações matemáticas, sem envolver letras ou inventar funções apenas para resolver o problema. Entusiastas têm resolvido o problema para mesmo além dos 10.000 primeiros inteiros.

Operações utilizadas

Para encontrar as soluções para este problema, foram empregados os seguintes sinais da matemática:

• + (adição)
• - (subtração)
• * (multiplicação)
• $\frac{x}{y}$ (divisão)
• n! (fatorial - representa o produto entre todos os números inteiros positivos menores ou iguais a n — $4!=1*2*3*4=24$)
• n? (termial - representa a soma de todos os números inteiros positivos menores ou iguais a n — $4?=1+2+3+4=10$)
• $x^n$ (exponenciação)
• √ (radiciação) - raiz quadrada e raiz quarta

Além dessas operações, pode-se fazer uso da notação decimal, usando-se a concatenação do algarismo 4 para formar os números 44, 444 e 4444.

Fórmula Geral

Uma solução geral para o problema dos Quatro Quatros, proposta por Rui Chammas e Roger Chammas, é a que todo número natural $n$ pode ser representado através da fórmula abaixo:

$n=-\frac{lo{g}_{\sqrt{4}}\left(lo{g}_{\sqrt{4}}\left(\begin{array}{c}4n+1\text{radicais}\\ \overbrace{\sqrt{\sqrt{\cdots \sqrt{4}}}}\end{array}\right)\right)}{4}$

Na fórmula alternativa abaixo, o número de raízes quadradas no termo da direita é igual ao número que se quer representar na esquerda.

$n=lo{g}_{\frac{\sqrt{4}}{4}}\left(lo{g}_4\left(\begin{array}{c}n\text{radicais}\\ \overbrace{\sqrt{\sqrt{\cdots \sqrt{4}}}}\end{array}\right)\right)$

A prova desta igualdade se dá pela indução abaixo. Os termos com a mesma cor são equivalentes.

$\begin{array}{cc}1& ={\log }_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}{)}^1={\log }_{\frac{1}{2}}({{\log }_{4}4}^{(\frac{1}{2}{)}^1})=lo{g}_{\frac{\sqrt{4}}{4}}({\log }_4{4}^{(\frac{1}{2}{)}^1})=lo{g}_{\frac{\sqrt{4}}{4}}({\log }_4\sqrt{4})\\ 2& ={\log }_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}{)}^2={\log }_{\frac{1}{2}}({{\log }_{4}4}^{(\frac{1}{2}{)}^2})=lo{g}_{\frac{\sqrt{4}}{4}}({\log }_4{4}^{(\frac{1}{2}{)}^2})=lo{g}_{\frac{\sqrt{4}}{4}}({\log }_4\sqrt{\sqrt{4}})\\ 3& ={\log }_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}{)}^3={\log }_{\frac{1}{2}}({{\log }_{4}4}^{(\frac{1}{2}{)}^3})=lo{g}_{\frac{\sqrt{4}}{4}}({\log }_4{4}^{(\frac{1}{2}{)}^3})=lo{g}_{\frac{\sqrt{4}}{4}}({\log }_4\sqrt{\sqrt{\sqrt{4}}})\\ & \dots \\ n& ={\log }_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}{)}^n={\log }_{\frac{1}{2}}({{\log }_{4}4}^{(\frac{1}{2}{)}^n})=lo{g}_{\frac{\sqrt{4}}{4}}({\log }_4{4}^{(\frac{1}{2}{)}^n})=lo{g}_{\frac{\sqrt{4}}{4}}({\log }_4\underset{n\text{ raízes quadradas}}{\underbrace{\sqrt{\sqrt{\dots \sqrt{\sqrt{4}}}}}})\\ \end{array}$

Soluções (até o 120)

Soluções
$0=44-44$	$28=(4+4)*4-4$	$56=4*4+4?*4$	$84=4?*4?-4*4$
$1=\frac{44}{44}$	$29=4!+4+\frac{4}{4}$	$57=(4?)?+4-4+\sqrt{4}$	$85=(4?)?+4?+4?+4?$
$2=\frac{4}{4}+\frac{4}{4}$	$30=(4-\frac{4}{4})*4?$	$58=(4?)?+4-\frac{4}{4}$	$86=4?*4?-4-4?$
$3=\frac{4*4-4}{4}$	$31=\frac{4?*4?+4!}{4}$	$59=(4?)?+4-4+4$	$87=(4?)?+4*(4+4)$
$4=\frac{4-4}{4}+4$	$32=4*4+4*4$	$60=4*4*4-4$	$88=44+44$
$5=\frac{4*4+4}{4}$	$33=4?+4!-\frac{4}{4}$	$61=(4?)?+4+4-\sqrt{4}$	$89=(4?)?+4!+(\sqrt{4}?)?+4$
$6=4+\frac{4+4}{4}$	$34=4?+4?+4?+4$	$62=\frac{4?*4?+4!}{\sqrt{4}}$	$90=(4?)?+(4?)?-4?-4?$
$7=\frac{44}{4}-4$	$35=4?+4!+\frac{4}{4}$	$63=\frac{4^4-4}{4}$	$91=(4?)?+4?*4-4$
$8=\frac{4+4}{4}*4$	$36=44-4-4$	$64=4^{4-\frac{4}{4}}$	$92=4?*4?-4-4$
$9=4+4+\frac{4}{4}$	$37=(4?)?-4!+4+\sqrt{4}$	$65=\frac{4^4+4}{4}$	$93=(4?)?+4!+4!-4?$
$10=\frac{44-4}{4}$	$38=44-\frac{4!}{4}$	$66=4*4*4+\sqrt{4}$	$94=4?*4?-4-\sqrt{4}$
$11=4?+4^{4-4}$	$39=4?*4-\frac{4}{4}$	$67=(4?)?+4+4+4$	$95=4!*4-\frac{4}{4}$
$12=\frac{44+4}{4}$	$40=4!+4!-4-4$	$68=4*4*4+4$	$96=4!*4+4-4$
$13=4?+4-\frac{4}{4}$	$41=4?*4+\frac{4}{4}$	$69=(4?)?+4?+\sqrt{4}+\sqrt{4}$	$97=4!*4+\frac{4}{4}$
$14=\frac{4!}{4}+4+4$	$42=4!+4!-4-\sqrt{4}$	$70=\frac{4?*(4!+4)}{4}$	$98=4?*4?-4+\sqrt{4}$
$15=4*4-\frac{4}{4}$	$43=44-\frac{4}{4}$	$71=(4?)?+\sqrt{4}*\sqrt{4}*4$	$99=4?*4?-\frac{4}{4}$
$16=4^{\frac{4}{4}}*4$	$44=\frac{44*4}{4}$	$72=\sqrt{4}*(4?+4!+\sqrt{4})$	$100=4?*4?+4-4$
$17=4*4+\frac{4}{4}$	$45=44+\frac{4}{4}$	$73=(4?)?+4*4+\sqrt{4}$	$101=4?*4?+\frac{4}{4}$
$18=4?+4+\sqrt{4}+\sqrt{4},$	$46=4!+4?+4?+\sqrt{4}$	$74=4*4*4+4?$	$102=4?*4?+4-\sqrt{4}$
$19=4!-4-\frac{4}{4}$	$47=4!+4!-\frac{4}{4}$	$75=(4?)?+4*4+4$	$103=(4?)?+44+4$
$20=4?*\frac{4+4}{4}$	$48=4!+4!+4-4$	$76=4?*(4+4)-4$	$104=4?*4?+\sqrt{4}+\sqrt{4}$
$21=4!-4+\frac{4}{4}$	$49=4!+4!+\frac{4}{4}$	$77=(4?)?+4?+4?+\sqrt{4}$	$105=(\frac{4!}{4}+4+4)?$
$22=4!-\frac{4+4}{4}$	$50=\frac{4!}{4}+44$	$78=4?*(4+4)-\sqrt{4}$	$106=4^4-\frac{(4!)?}{\sqrt{4}}$
$23=4!-4^{4-4}$	$51=(4?)?-4!+4!-4$	$79=(4?)?+4?+4?+4$	$107=\frac{(4!-4)?}{\sqrt{4}}+\sqrt{4}$
$24=4*4+4+4$	$52=44+4+4$	$80=4*4?+4*4?$	$108=4?*4?+4+4$
$25=4!+4^{4-4}$	$53=(4?)?-\sqrt{4}-4+4$	$81=(4-\frac{4}{4}{)}^4$	$109=(4*4-\sqrt{4})?+4$
$26=4!+\frac{4+4}{4}$	$54=4!+4!+\sqrt{4}+4$	$82=4?*(4+4)+\sqrt{4}$	$110=(4?)?+(4?)?+4-4$
$27=4!+4-\frac{4}{4}$	$55=(4?)?+4-\sqrt{4}-\sqrt{4}$	$83=(4?)?+4!+\sqrt{4}+\sqrt{4}$	$111=\frac{444}{4}$
$112=(4?)?+(4?)?+4-\sqrt{4}$	$113=4!+4!+4?+(\sqrt{4}?)$	$114=(4?)?+(4?)?+\sqrt{4}+\sqrt{4}$	$115=(4?)?+(4?)?+\frac{4?}{\sqrt{4}}$
$116=4?*4?+4*4$	$117=(4?)?*(\sqrt{4}?)-4!-4!$	$118=(4?)?+(4?)?+4+4$	$119=(4?)?+(4?)?+\sqrt{4}?*\sqrt{4}?$
$120=4?*4?+4!-4$

π, i, e

A função gama generaliza o fatorial para números que não são inteiros, ou, mais precisamente, $\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!.$ Em particular, como $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi },$ pode-se dizer que $(-\frac{1}{2})!=\sqrt{\pi }.$ Portanto, o número transcendente π pode ser escrito com quatro quatros:

$$\pi =\left(\right(\frac{\sqrt{4}-4}{4})!{)}^{\sqrt{4}}$$

A unidade imaginária i também pode ser escrita como:

$$i=\sqrt{-\frac{4\times 4}{4\times 4}}$$

Não é possível escrever o número de Euler e, porém é possível se aproximar o quanto se queira:

$$e\approx (\frac{4!!!!+\sqrt{4!!!!}}{4!!!!}{)}^{\sqrt{4!!!!}}$$

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