Teorema de Mittag-Leffler

Na análise complexa, o teorema de Mittag-Leffler diz respeito à existência de funções meromorfas com polos prescritos. Por outro lado, pode ser usado para expressar qualquer função meromorfa como uma soma de frações parciais. É irmão do teorema de fatoração de Weierstrass, que afirma a existência de funções holomorfas com zeros prescritos. Tem o nome de Gösta Mittag-Leffler.

Magnus Gösta Mittag-Leffler, matemático sueco

O Teorema

Seja $D$ um conjunto aberto em $ℂ$ e $E\subset D$ um subconjunto discreto fechado. Para cada $a$ em $E$, tem-se que $p_a(z)$ é um polinômio em$1/(z-a)$ . Portanto, existe uma função meromorfa $f$ em $D$ tal que para cada $a\in E$, a função $f(z)-p_a(z)$ tem apenas uma singularidade removível em $a$. Em especial, a principal parte da função $f$ em $a$ é $p_a(z)$.

Pode-se provar o teorema da seguinte forma abaixo:

Se $E$ é finito, basta dizer que $f(z)=\sum _{a\in E}{p}_a(z)$ .

E se $E$ não é finito, considera-se a soma finita $S_F(z)=\sum _{a\in F}{p}_a(z)$ em que $F$ é um subconjunto finito de $E$ .

Enquanto que o $S_F(z)$ possa não convergir na medida em que F se aproxima de E, pode-se subtrair funções racionais bem escolhidas com polos fora de D (fornecido pelo teorema de Runge), sem que altere as partes principais do $S_F(z)$ e de forma que a convergência seja garantida.

Exemplo

Supondo que deseja-se uma função meromorfa com polos simples de resíduo 1 em todos os números inteiros positivos. Com a notação vista acima, escreve-se:

$p_k=\frac{1}{z-k}$

e $E={\mathbb{Z}}^{+}$, o teorema de Mittag-Leffler afirma (não construtivamente) a existência de uma função meromorfa $f$ com parte principal $p_k(z)$ em $z=k$ para cada número inteiro positivo $k$ . Assim, a $f$ tem as propriedades desejadas. De forma mais construtiva, pode-se escrever:

$f(z)=z\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k(z-k)}$.

Esta série converge normalmente em $ℂ$ (como pode ser mostrado usando o teste M) para uma função meromorfa com as propriedades desejadas.

Expansões polares de funções meromorfas

Aqui estão alguns exemplos de expansões de polos de funções meromorfas:

$\tan (z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{8z}{(2n+1{)}^2{\pi }^2-4z^2}$

$\csc (z)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{(-1{)}^n}{z-n\pi }=\frac{1}{z}+2z\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{1}{z^2-(n\pi {)}^2}$

$\sec (z)\equiv -\csc (z-\frac{\pi }{2})=\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{(-1{)}^{n-1}}{z-(n+\frac{1}{2})\pi }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n+1)\pi }{(n+\frac{1}{2}{)}^2{\pi }^2-z^2}$

$\cot (z)\equiv \frac{\cos (z)}{\sin (z)}=\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{z-n\pi }=\frac{1}{z}+2z\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{z^2-(k\pi {)}^2}$

${\csc }^2(z)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(z-n\pi {)}^2}$

${\sec }^2(z)=\frac{d}{dz}\tan (z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{8((2n+1{)}^2{\pi }^2+4z^2)}{((2n+1{)}^2{\pi }^2-4z^2{)}^2}$

$\frac{1}{z\sin (z)}=\frac{1}{z^2}+\sum _{n\ne 0}\frac{(-1{)}^n}{\pi n(z-\pi n)}=\frac{1}{z^2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{2}{z^2-(n\pi {)}^2}$

Transformadas de Laplace

Existe também, a partir da definição da função de Mittag-Leffler, o laplaciano $ℒ$ tal como o inverso ${ℒ}^{\mathcal{-}1}$do mesmo. Para isso, adicionam-se parâmetros à função conforme proposto pelo matemático Prabhakar, veja as fórmulas abaixo:

• Função com 3 parâmetros:

Sendo que $E_{\alpha ,\beta }^p(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(p{)}_k{z}^k}{\mathrm{\Gamma }(k\alpha +\beta )k!}$ é a função definida por 3 parâmetros, agora basta integrar na fórmula de Laplace e temos que o laplaciano é igual a $ℒ[s^{\alpha p-\beta }{E}_{\alpha \beta }^p(\pm \lambda t^{\alpha })]=\frac{s^{\alpha p-\beta }}{(s^{\alpha }\mp \lambda {)}^p}$ e para o seu inverso obtém-se ${ℒ}^{\mathcal{-}1}\left[\frac{s^{\alpha p-\beta }}{(s^{\alpha }\mp \lambda {)}^p}\right]=t^{\beta -1}{E}_{\alpha \beta }^p(\pm \lambda t^{\alpha })$.

• Função com 2 parâmetros: $ℒ[t^{\beta -1}{E}_{\alpha ,\beta }(-\lambda t^{\alpha })]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-\lambda {)}^k}{s^{\alpha k+\beta }}=\frac{s^{\alpha -\beta }}{(s^{\alpha }+\lambda )}$ e a transformada inversa é igual a ${ℒ}^{\mathcal{-}1}\left[\frac{s^{\alpha -\beta }}{(s^{\alpha }+\lambda )}\right]=t^{\beta -1}{E}_{\alpha ,\beta }(-\lambda t^{\alpha })$.
• Função com 1 parâmetro: $ℒ[E_{\alpha }(-\lambda t^{\alpha })]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-\lambda {)}^k}{s^{\alpha k+1}}=\frac{s^{\alpha -1}}{(s^{\alpha }+\lambda )}$ e a transformada inversa é igual a ${ℒ}^{\mathcal{-}1}\left[\frac{s^{\alpha -1}}{(s^{\alpha }+\lambda )}\right]=E_{\alpha }(-\lambda t^{\alpha })$.

Ver também

• Teorema de Liouville
• Função Mittag-Leffler

• Predefinição:CitationPredefinição:Citation.
• Oliveira, Daniela dos Santos de (2014), Derivada Fracionária e as Funções de Mittag-Leffler.

Ligações externas

• Predefinição:SpringerEOM
• Predefinição:PlanetMath reference