Teorema de Picard-Lindelöf

Em matemática, sobretudo na teoria das equações diferenciais ordinárias, o teorema de Picard-Lindelöf estabelece condições suficientes para a existência e unicidade de soluções em uma vizinhança de

$t_0$

para o problema de valor inicial:

$\begin{array}{cc}& \frac{d}{dt}y(t)=f(y(t),t)\\ & y(t_0)=y_0\end{array}$

onde

$f(x,t)$

é uma função contínua na variável

$t$

e Lipschitz contínua na variável

$x$

.

Algumas vezes, notadamente na França, este teorema é chamado de Teorema de Cauchy-Lipschitz. Os nomes do teorema são em honra aos matemáticos Charles Émile Picard, Ernst Leonard Lindelöf, Rudolf Lipschitz e Augustin Louis Cauchy.

Enunciado

Seja $f(x,t):[y_0-a,y_0+a]\times [t_0-b,t_0+b]\to ℝ$ uma função contínua tal que:

$|f(x,t)-f(y,t)|\le L|x-y|,\mathrm{\forall }x,y,t\in ℝ$ para algum $L$ positivo.

Então existe um número $h$ positivo tal que o problema de valor inicial

$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}y(t)=f(y(t),t)\\ y(t_0)=y_0\end{array}$

admite uma única solução no intervalo $[t_0-h,t_0+h]$.

As iterações de Picard

Este teorema admite uma demonstração construtiva cujo cerne são as iterações de Picard. Estas iterações consistem em definir as seguintes funções indexadas por $n$:

$y_0(t)=y_0$

$y_{n+1}(t)=y_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(y_n(\tau ),\tau )d\tau ,n\ge 0$

Unicidade

Assuma que $y(t)$ e $z(t)$ sejam solução do problema, então a diferença $w(t)=y(t)-z(t)$ satisfaz:

$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}w(t)=f(y(t),t)-f(z(t),t)\\ w(t_0)=0\end{array}$

Integrando temos:

$w(t)=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}[f(y(\tau ),\tau )-f(z(\tau ),\tau )]d\tau ,t\in [t_0,t_0+h]$

Usando a condição de Lipschitz, temos:

$|w(t)|\le \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}|f(y(\tau ),\tau )-f(z(\tau ),\tau )|d\tau \le L\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}|w(\tau )|d\tau ,t\in [t_0,t_0+h]$

Uma simples aplicação do lema de Gronwall nos permite concluir que $w(t)\equiv 0$ e, portanto, $y(t)\equiv z(t)$ como queríamos. A demonstração no intervalo $[t_0-h,t_0]$ é perfeitamente análoga.

Existência

Como $f$ é contínua em $[y_0-a,y_0+a]\times [t_0-b,t_0+b]$, existe uma constante $M>0$ tal que:

$|f(x,t)|\le M,\mathrm{\forall }(x,t)\in [y_0-a,y_0+a]\times [t_0-b,t_0+b]$

Fixe $h>0$ tal que:

$Mh\le a$

Por simplicidade e sem perda de generalidade considere $y_0=0$. Defina as iterações de Picard:

$y_0(t)=y_0$

$y_{n+1}(t)=y_0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(y_n(\tau ),\tau )d\tau ,n\ge 0$

É fácil estabelecer por indução que:

$|y_n(t)-y_0|\le \underset{0}{\overset{|t|}{\int }}|f(y_{n-1}(\tau ),\tau )|d\tau \le Mt\le Mh\le a$

Isto garante que $y_n\in [y_0-a;y_0+a],\mathrm{\forall }n=1,2,3,\dots$

Necessitamos estabelecer a seguinte estimativa por indução em $n$:

$|y_{n+k}(t)-y_n(t)|\le \frac{M{L}^n|t{|}^n}{n!}$

• Base:

$|y_{1+k}(t)-y_1(t)|\le \underset{0}{\overset{|t|}{\int }}|f(y_k(\tau ),\tau )-f(y_0(\tau ),\tau )|d\tau$

$|y_{1+k}(t)-y_1(t)|\le L\underset{0}{\overset{|t|}{\int }}|y_k(\tau )-y_0(\tau )|d\tau \le ML|t|$

• Indução:

$|y_{n+k}(t)-y_n(t)|\le \underset{0}{\overset{|t|}{\int }}|f(y_{n+k-1}(\tau ),\tau )-f(y_{n-1}(\tau ),\tau )|d\tau$

$|y_{n+k}(t)-y_n(t)|\le L\underset{0}{\overset{|t|}{\int }}|y_{n+k-1}(\tau )-y_{n-1}(\tau )|d\tau$

$|y_{n+k}(t)-y_n(t)|\le L\underset{0}{\overset{|t|}{\int }}\frac{M{L}^{n-1}|t{|}^{n-1}}{(n-1)!}d\tau =\frac{M{L}^n|t{|}^n}{n!}$

Como $\frac{M{L}^n|t{|}^n}{n!}\le \frac{M{L}^n{h}^n}{n!}\to 0,n\to \mathrm{\infty }$, temos que as funções $y_n(t)$ convergem uniformemente no intervalo $[t_0-h,t_0+h]$ para uma função contínua $y$

Tomando o limite em:

$y_{n+1}(t)=y_0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(y_n(\tau ),\tau )d\tau ,n\ge 0$

temos:

$y(t)=y_0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(y(\tau ),\tau )d\tau$

Neste limite usamos que $f(y_n(\tau ),\tau )\to f(y(\tau ),\tau )$ uniformemente, isto é consequência da continuidade uniforme que é válida para funções contínuas em conjuntos compactos.

Como $f(y(\tau ),\tau )$ é contínua em $\tau$, podemos aplicar o teorema fundamental do cálculo:

$\frac{d}{dt}y(t)=f(y(t),t)$

E o resultado segue.

Generalizações

O teorema pode facilmente generalizado para espaços de Banach, onde o problema de valor inicial toma a seguinte forma:

Seja $f(x,t):V\times [t_0-b,t_0+b]\to 𝕏$ uma função contínua tal que:

$\Vert f(x,t)-f(y,t)\Vert \le L\Vert x-y\Vert ,\mathrm{\forall }x,y,t\in ℝ$ para algum $L$ positivo. Onde $𝕏$ é um espaço de Banach e $V$ é uma aberto contido nele.

Então existe um número $h$ positivo tal que o problema de valor inicial

$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}y(t)=f(y(t),t)\\ y(t_0)=y_0\in 𝕍\end{array}$

admite uma única solução no intervalo $t\in [t_0-h,t_0+h]$.

A derivada $\frac{d}{dt}$ deve ser entendida no sentido de Fréchet.

A demonstração se faz de forma perfeitamente análoga, definindo as iterações de Picard.

Observações

• O teorema de Picard-Lindelöf estabele apenas existência local, ou seja, em torno de alguma vizinhança da condição inicial.
• As condições do teorema são suficientes, porém não são necessárias.

Exemplos e contra-exemplos

• O problema:

$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}y(t)=y(t{)}^2\\ y(t_0)=1\end{array}$

satisfaz as condições do teorema e, de fato, sua solução é dada por:

$y(t)=\frac{1}{1-t},t<1$

• O problema:

$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}y(t)=\sqrt{|y(t)|}\\ y(t_0)=0\end{array}$

não satisfaz as condições do teorema, pois $f$ não é lipschitziana na origem. Este problema admite, no entanto, soluções, embora não haja unicidade. Duas possíveis soluções são:

$y(t)=0$

$y(t)=\frac{t^2}{4}$