Traço parcial

Em álgebra linear e análise funcional o traço parcial é uma generalização do traço, onde o traço é uma grandeza escalar e o traço parcial é um operador funcional.

Definição

Suponha que V e W são espaços vetoriais de dimensões finitas sobre um corpo, com m e n dimensões, respectivamente. Para qualquer espaço A assuma que $L(A)$ indique o espaço dos operadores lineares em A. O traço parcial sobre W, $T{r}_W$, é um mapeamento de

$T\in \mathrm{L}(V\otimes W)\mapsto {\mathrm{Tr}}_W(T)\in \mathrm{L}(V)$

isto é definido da seguinte forma: suponha que

$e_1,\dots ,e_m$

e

$f_1,\dots ,f_n$

sejam as bases para V e W respectivamente; então T possui uma matriz de representação

$\{a_{k\ell ,ij}\}1\le k,i\le m,1\le \ell ,j\le n$

relativa à base

$e_k\otimes f_{\ell }$

de

$V\otimes W$.

agora para os índices k e i no alcance $1,\dots ,m$, considere a soma

$b_{k,i}=\sum _{j=1}^n{a}_{kj,ij}.$

Isto nos fornece a matriz $b_{k,i}$. O operador de associação linear em V é independente da escolha das bases e é por definição o traço parcial.

Definição invariante

O operador do traço parcial pode ser definido de forma invariante (ou seja, sem dependente de uma base) como segue: isto é o operador linear único

${\mathrm{Tr}}_W:\mathrm{L}(V\otimes W)\to \mathrm{L}(V)$

de forma que

${\mathrm{Tr}}_W(R\otimes S)=R\mathrm{Tr}(S)\mathrm{\forall }R\in \mathrm{L}(V)\mathrm{\forall }S\in \mathrm{L}(W).$

Desta definição abstrata, obtém-se as seguintes propriedades:

${\mathrm{Tr}}_W(I_{V\otimes W})=\dim W{I}_V$

${\mathrm{Tr}}_W(T(I_V\otimes S))={\mathrm{Tr}}_W((I_V\otimes S)T)\mathrm{\forall }S\in \mathrm{L}(W)\mathrm{\forall }T\in \mathrm{L}(V\otimes W).$

Traços parciais para operadores no espaço de Hilbert

O traço parcial generaliza para operadores no espaço de Hilbert com infinitas dimensões. Suponha que V e W sejam espaços de Hilbert, e que

$\{f_i{\}}_{i\in I}$

seja uma base ortogonal para W. Então existe um isomorfismo isométrico

$\underset{\ell \in I}{⨁}(V\otimes ℂf_{\ell })\to V\otimes W$

Sob esta decomposição, qualquer operador $T\in \mathrm{L}(V\otimes W)$ pode ser considerado como uma matriz infinita de operadores em V

$\left[\begin{array}{ccccc}{T}_{11}& T_{12}& \dots & T_{1j}& \dots \\ T_{21}& T_{22}& \dots & T_{2j}& \dots \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ T_{k1}& T_{k2}& \dots & T_{kj}& \dots \\ ⋮& ⋮& & ⋮\end{array}\right],$

onde $T_{k\ell }\in \mathrm{(}V)$.

Agora suponha que T seja um operador não negativo. Neste caso, todas as diagonais da matriz são operadores não negativos em V. Se a soma

$\sum _{\ell }{T}_{\ell \ell }$

converge na topologia de operador forte de $L(V)$, isto é independente da base escolhida de W. O traço parcial $T{r}_W(T)$ é definido como sendo seu operador. O traço parcial do operador autoadjunto é definido se e somente se o traço parcial das partes positivas e negativas são definidas.

Traço parcial e integral invariante

No caso de espaços de Hilbert com finitas dimensões, existe uma forma útil de buscar o traço parcial e envolve integral no que diz respeito a uma medida de Haar devidamente normalizada μ sobre o grupo unitário $U(W)$ de W.

Teorema

Suponha que V e W sejam espaços de Hilbert com finitas dimensões. Então

$\underset{\mathrm{U}(W)}{\int }(I_V\otimes U^{*})T(I_V\otimes U)d\mu (U)$

comuta com todos os operadores da forma $I_V\otimes S$ e daqui é de forma unicamente $R\otimes I_W$. O operador R é o traço parcial de T.

Traço parcial como uma operação quântica

O traço parcial pode ser visto como uma operação quântica. Considere um sistema na mecânica quântica em que o estado do espaço é o produto do tensor $H_A\otimes H_B$ dos espaços de Hilbert. Um estado misto é descrito por uma matriz densidade ρ, que é um operador de classe tracial não negativa de traço 1 no produto do tensor $H_A\otimes H_B.$ O traço parcial de ρ com respeito ao sistema B, indicado por ${\rho }^A$, é chamado de estado reduzido de ρ no sistema A

${\rho }^A={\mathrm{Tr}}_B\rho .$

Para demonstrar que isto é de fato uma forma razoável para atribuir um estado ρ em um subsistema A, suponha que M seja um observável no subsistema A, então o observável correspondente no sistema composto é $M\otimes I$. Entretanto se escolhermos para definir um estado reduzido ${\rho }^A$, deve existir uma medição estatística consistente. O valor esperado de M após o subsistema A é preparado em ${\rho }^A$ e $M\otimes I$ quando o sistema composto é preparado em ρ deve ser identico, isto é

$\mathrm{Tr}(M\cdot {\rho }^A)=\mathrm{Tr}(M\otimes I\cdot \rho ).$

Vemos que isto é satisfeito se ${\rho }^A$ é definido como acima através de traços parciais.

Suponha que $T(H)$ seja o espaço de Banach de operadores de classe tracial no espaço de Hilbert H. Isto pode ser verificado que o traço pacial, visto como um mapeamento

${\mathrm{Tr}}_B:T(H_A\otimes H_B)\to T(H_A)$

é sempre positivo e preservador do traço.

O mapeamento do traço parcial como dado acima induz a um duplo mapeamento ${\mathrm{Tr}}_B^{*}$ entre os operadores limitados da C*-álgebra em $H_A$ e $H_A\otimes H_B$ dado por

${\mathrm{Tr}}_B^{*}(A)=A\otimes I.$

${\mathrm{Tr}}_B^{*}$ mapeia observáveis para observáveis e é a representação de Heisenberg de ${\mathrm{Tr}}_B$.

Comparação com a mecânica clássica

Suponha que ao invés de sistemas na mecânica quântica, os dois sistemas A e B são sistemas na mecânica clássica. O espaço dos observáveis para cada sistema são, então, C*-álgebras abelianas. Então são da forma $C(X)$ e $C(Y)$ respectivamente para espaços compactos X e Y. Estes estados de sistemas compostos são

$C(X)\otimes C(Y)=C(X\times Y).$

Um estado num sistema composto é um elemento positivo ρ da dupla de $C(X\times Y)$, que segundo teorema da representação de Riesz corresponde a uma medição regular de Borel em $X\times Y$. Então o traço parcial é o equivalente da mecânica quântica desta operação.

Ligações externas

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