Círculo unitário

Ilustração de um círculo unitário. A variável t é uma medida de ângulo.

Animação do ato de desenrolar a circunferência de um círculo unitário, um círculo com raio 1. Como Predefinição:Math, a circunferência de um círculo unitário é Predefinição:Math.

Na matemática, um círculo unitário é um círculo de raio unitário — isto é, um raio de 1. Frequentemente, especialmente na trigonometria, o círculo unitário é o círculo de raio 1 centrado na origem (0, 0) no sistema de coordenadas cartesianas no plano euclidiano. Em topologia, é frequentemente denotado como Predefinição:Math porque é uma [[N-esfera|Predefinição:Math-esfera]] unitária unidimensional.Predefinição:Refn

Se Predefinição:Math é um ponto na circunferência do círculo unitário, então Predefinição:Math e Predefinição:Math são os comprimentos dos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa tem comprimento 1. Assim, pelo teorema de Pitágoras, Predefinição:Math e Predefinição:Math satisfazem a equação $$x^2+y^2=1$$

Como Predefinição:Math para todo Predefinição:Math, e como a reflexão de qualquer ponto no círculo unitário sobre o eixo Predefinição:Math ou Predefinição:Math também está no círculo unitário, a equação acima vale para todos os pontos Predefinição:Math no círculo unitário, não apenas aqueles no primeiro quadrante.

O interior do círculo unitário é chamado de disco unitário aberto, enquanto o interior do círculo unitário combinado com o próprio círculo unitário é chamado de disco unitário fechado.

Pode-se também usar outras noções de "distância" para definir outros "círculos unitários", como o círculo Riemanniano; veja o artigo sobre normas matemáticas para exemplos adicionais.

No plano complexo

Animação do círculo unitário com ângulos

No plano complexo, números de magnitude unitária são chamados de números unitários complexos. Este é o conjunto de números complexos Predefinição:Mvar tais que $|z|=1$. Quando dividido em componentes reais e imaginários $z=x+iy$, esta condição é $|z{|}^2=z\overline{z}=x^2+y^2=1$.

O círculo unitário complexo pode ser parametrizado pela medida do ângulo $\theta$ do eixo real positivo usando a função exponencial complexa, $z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\mathrm{sen}\theta$. (Veja o artigo Fórmula de Euler.)

Sob a operação de multiplicação complexa, os números unitários complexos formam um grupo chamado grupo circular, geralmente denotado $𝕋$. Na mecânica quântica, um número unitário complexo é chamado de fator de fase.

Funções trigonométricas no círculo unitário

Todas as funções trigonométricas do ângulo Predefinição:Math (teta) podem ser construídas geometricamente em termos de um círculo unitário centrado em O.

Função seno no círculo unitário (acima) e seu gráfico (abaixo)

As funções trigonométricas cosseno e seno do ângulo Predefinição:Math podem ser definidas no círculo unitário da seguinte forma: Se Predefinição:Math for um ponto no círculo unitário, e se o raio da origem Predefinição:Math para Predefinição:Math fizer um ângulo Predefinição:Math a partir do eixo Predefinição:Math positivo (onde o giro no sentido anti-horário é positivo), então $$\cos \theta =x\text{e}\mathrm{sen}\theta =y$$ A equação Predefinição:Math fornece a relação $${\cos }^2\theta +{\mathrm{sen}}^2\theta =1$$ O círculo unitário também demonstra que seno e cosseno são funções periódicas, com as identidades $$\cos \theta =\cos (2\pi k+\theta )$$ $$\mathrm{sen}\theta =\mathrm{sen}(2\pi k+\theta )$$ para qualquer inteiro Predefinição:Math.

Triângulos construídos no círculo unitário também podem ser usados para ilustrar a periodicidade das funções trigonométricas. Primeiro, construa um raio Predefinição:Math da origem Predefinição:Math até um ponto Predefinição:Math no círculo unitário de modo que um ângulo Predefinição:Math com Predefinição:Math seja formado com o braço positivo do eixo Predefinição:Math. Agora considere um ponto Predefinição:Math e segmentos de reta Predefinição:Math. O resultado é um triângulo retângulo Predefinição:Math com Predefinição:Math. Como Predefinição:Math tem comprimento Predefinição:Math, Predefinição:Math comprimento Predefinição:Math e Predefinição:Math tem comprimento 1 como um raio no círculo unitário, Predefinição:Math e Predefinição:Math. Tendo estabelecido essas equivalências, pegue outro raio Predefinição:Math da origem até um ponto Predefinição:Math no círculo de modo que o mesmo ângulo Predefinição:Math seja formado com o braço negativo do eixo Predefinição:Math. Agora considere um ponto Predefinição:Math e segmentos de reta Predefinição:Math. O resultado é um triângulo retângulo Predefinição:Math com Predefinição:Math. Pode-se ver, portanto, que, como Predefinição:Math, Predefinição:Math está em Predefinição:Math da mesma forma que P está em Predefinição:Math. A conclusão é que, como Predefinição:Math é o mesmo que Predefinição:Math e Predefinição:Math é o mesmo que Predefinição:Math, é verdade que Predefinição:Math e Predefinição:Math. Pode ser inferido de forma similar que Predefinição:Math, já que Predefinição:Math e Predefinição:Math. Uma demonstração simples do acima pode ser vista na igualdade Predefinição:Math.

Ao trabalhar com triângulos retângulos, seno, cosseno e outras funções trigonométricas só fazem sentido para medidas de ângulo maiores que zero e menores que ⁠Predefinição:Sfrac. Entretanto, quando definidas com o círculo unitário, essas funções produzem valores significativos para qualquer medida de ângulo de valor real – mesmo aquelas maiores que 2Predefinição:Pi. Na verdade, todas as seis funções trigonométricas padrão – seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante, bem como funções arcaicas como seno verso (verseno) e secante externa (exsecante) – podem ser definidas geometricamente em termos de um círculo unitário, como mostrado à direita.

Usando o círculo unitário, os valores de qualquer função trigonométrica para muitos ângulos diferentes daqueles rotulados podem ser facilmente calculados manualmente usando as fórmulas de soma e diferença de ângulos.

O círculo unitário, mostrando coordenadas de certos pontos

Dinâmica complexa

Círculo unitário em dinâmica complexa

O conjunto de Julia de sistema dinâmico que não é linear, discreto, com função de evolução: $$f_0(x)=x^2$$ é um círculo unitário. É um caso mais simples, por isso é amplamente utilizado no estudo de sistemas dinâmicos.

Ver também

• Ângulo
• Gráfico de Smith
• Cubo unitário
• Função trigonométrica
• Identidade trigonométrica
• Identidade trigonométrica fundamental
• Radiano
• Transformada Z
• Volta (ângulo)