Espaço lp

Em matemática, os espaços ${\ell }^p$, são espaços vetoriais normados cujos vetores são sequências de números pertencentes a um corpo $𝕂$ onde $𝕂=ℂ$ ou $ℝ$. Espaços ${\ell }^p$ são exemplos de espaços vetoriais de dimensão infinita.

Definições

• Uma sequência $\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ é dita pertencer ao espaço ${\ell }^p,1\le p<\mathrm{\infty },$ se for p-somável, ou seja:

$\Vert a_n{\Vert }_p:={(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n{|}^p)}^{\frac{1}{p}}<\mathrm{\infty }$.

• Uma sequência $\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ é dita pertencer ao espaço ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ se for limitada, ou seja:

$\Vert a_n{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=\underset{n}{\sup }|a_n|<\mathrm{\infty }$.

A desigualdade de Minkowski garante que estes espaços são lineares e que a norma está bem definida, satisfazendo seus axiomas.

A estrutura de espaço vetorial é gerada definindo a soma de elementos e a multiplicação por escalar da seguinte maneira:

$(a_1,a_2,...,a_n,a_{n+1},\dots )+(b_1,b_2,...,b_n,b_{n+1},\dots )=(a_1+b_1,a_2+b_2,...,a_n+b_n,a_{n+1}+b_{n+1},\dots )$

$\lambda \cdot (a_1,a_2,...,a_n,a_{n+1},\dots )=(\lambda a_1,\lambda a_2,...,\lambda a_n,\lambda a_{n+1},\dots )$.

Propriedades dos espaços ${\ell }^p$

Convergência

Todas as sequências $\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ pertencentes a ${\ell }^p,1\le p<\mathrm{\infty }$, convergem a zero, o que não é necessariamente verdade para sequências em ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$, por exemplo, a sequência constante $a=(1,1,1,1,\dots )$ é limitada mas $\Vert (1,1,1,1,\dots ){\Vert }_p=\mathrm{\infty },1\le p<\mathrm{\infty }$, logo $a\notin {\ell }^p$.

Espaços de Banach e Hilbert

Espaços ${\ell }^p$ são espaços de Banach para qualquer $1\le p\le \mathrm{\infty }$ e o único espaço ${\ell }^p$ que é um espaço de Hilbert é ${\ell }^2$, que é dotado do produto interno

$⟨\{a_n\}|\{b_n\}⟩=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\overline{b_n}$.

Separabilidade

Para $1\le p<\mathrm{\infty }$, os espaços ${\ell }^p$ são separáveis, mas ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ não é separável.

Inclusão dos espaços

Os espaços ${\ell }^p$ crescem à medida que $p$ cresce, isto é, se $1\le p<q\le \mathrm{\infty }$, então ${\ell }^p\subset {\ell }^q$.

Espaços $c,c_0\text{e}{c}_{00}$

O espaço das sequências convergentes é denotado por $c$, e, como toda sequência convergente é limitada, $c$ é um subespaço linear de ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ e além disso temos que $c$ é um subespaço fechado de ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ e portanto um espaço de Banach.

O espaço $c_0$ é o espaço das sequências convergentes a zero, é facil notar que $c_0$ é um subespaço de $c$ e portanto também é um subespaço linear de ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$. Também é um subespaço fechado e portanto de Banach

$c_{00}$ é o subespaço linear de $c_0$ formado pelas sequências eventualmente nulas, ou seja, para $\{a_n\}\in c_{00}$, existe $n\in N$ tal que se $m\ge n,a_m=0$. $c_{00}$ não é um subespaço fechado com relação a norma $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$, pois para a sequência $x_n=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots ,\frac{1}{n},0,\dots ),\{x_n\}$ é de Cauchy mas $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n$ converge para $x=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots ,\frac{1}{n},\frac{1}{n+1},\dots )$ que não pertence à $c_{00}$.

Dualidade

Se $1<p<\mathrm{\infty }$, então o espaço dual topológico de ${\ell }^p$ é isometricamente isomorfo a ${\ell }^q$ onde $q$ é o conjugado de Lebesgue de $p$, ou seja $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. O isomorfismo $\mathrm{\Psi }$ definido por

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Psi }:{\ell }^q& \to ({\ell }^p{)}^{\prime }\\ x& \mapsto L_x:{\ell }^p\to 𝕂& & \\ & y\mapsto \sum _n{x}_n{y}_n& & \\ \end{array}$.

Pela desigualdade de Hölder temos que $|L_x(y)|\le \Vert x{\Vert }_q\Vert y{\Vert }_p$, e definido a norma em $({\ell }^p{)}^{\prime }$ por

$\Vert \mathrm{\Psi }(x){\Vert }_{({\ell }^p{)}^{\prime }}=\underset{y\ne 0}{\sup }\frac{|L_x(y)|}{\Vert y{\Vert }_p}$.

Temos que $\Vert \mathrm{\Psi }(x){\Vert }_{({\ell }^p{)}^{\prime }}\le \Vert x{\Vert }_q$,e portanto, $\mathrm{\Psi }$ é um operador limitado e

$\mathrm{\Psi }(\lambda x^1+x^2)=L_{(\lambda x^1+x^2)}(y)=\sum _n(\lambda x_n^1+x_n^2)y_n=\lambda \sum _n{x}_n^1{y}_n+\sum _n{x}_n^2{y}_n$

logo $\mathrm{\Psi }$ é linear.

Seja $1\le p<\mathrm{\infty }$, então os funcionais pertencentes ao espaço dual ${\left({\ell }^p\right)}^{*}$ são da forma:

$l(\{a_n\})=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$, para algum $\{b_n\}$ associado a $l$.

Ver também

• Espaço Lp

Bibliografia

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