Produto semidireto

Em matemática, especificamente na teoria dos grupos, um produto semidireto é uma generalização de um produto direto. Existem dois conceitos intimamente relacionados de produto semidireto:

• um produto semidireto interno é uma maneira particular pela qual um grupo pode ser composto de dois subgrupos, um dos quais é um subgrupo normal.
• um produto semidireto externo é uma maneira de construir um novo grupo a partir de dois grupos dados, usando o produto cartesiano como um conjunto e uma operação de multiplicação particular.

Como ocorre com os produtos diretos, há uma equivalência natural entre os produtos semidiretos internos e externos, e ambos são comumente chamados de produtos semidiretos.

Para os grupos finitos, o teorema de Schur-Zassenhaus fornece uma condição suficiente para a existência de uma decomposição como um produto semidireto (também conhecido como extensão cindida).

Definições de produto semidireto interno

Dado um grupo Predefinição:Math com elemento de identidade Predefinição:Math, um subgrupo Predefinição:Math e um subgrupo normal Predefinição:Math, as seguintes declarações são equivalentes:

• Predefinição:Math é o produto dos subgrupos, Predefinição:Math, e esses subgrupos têm intersecção trivial: $M\cap N=\{e\}$ .
• Para cada Predefinição:Math, existem Predefinição:Math e Predefinição:Math únicos tais que Predefinição:Math.
• Para cada Predefinição:Math existem Predefinição:Math e Predefinição:Math únicos tais que Predefinição:Math.
• A composição Predefinição:Math da inclusão natural Predefinição:Math com a projeção natural Predefinição:Math é um isomorfismo entre Predefinição:Math e o grupo quociente Predefinição:Math.
• Existe um homomorfismo Predefinição:Math que é a identidade em Predefinição:Math e cujo núcleo é Predefinição:Math. Em outras palavras, há uma sequência exata cindida

$1\to N\to G\to H\to 1$

de grupos (também conhecida como extensão de grupo de $N$ por $H$)

Se qualquer uma dessas afirmações for válida (e, portanto, todas elas forem válidas, devido à sua equivalência), diz-se que Predefinição:Math é o produto semidireto de Predefinição:Math e Predefinição:Math, escrito

$G=N⋊H$ ou $G=H⋉N,$

ou que Predefinição:Math cinde sobre Predefinição:Math; diz-se também que Predefinição:Math é um produto semidireto de Predefinição:Math agindo sobre Predefinição:Math, ou mesmo um produto semidireto de Predefinição:Math e Predefinição:Math. Para evitar ambiguidades, é aconselhável especificar qual dos subgrupos é normal.

Produtos semidiretos internos e externos

Considere primeiramente o produto semidireto interno. Neste caso, para um grupo $G$, considere seu subgrupo normal Predefinição:Math e o subgrupo Predefinição:Math (não necessariamente normal). Suponha que as condições na lista acima sejam válidas. Seja Predefinição:Math o grupo de todos os automorfismos de Predefinição:Math, que é um grupo sob a operação de composição. Construa um homomorfismo de grupos Predefinição:Math definido pela conjugação Predefinição:Math para todo Predefinição:Math em Predefinição:Math e Predefinição:Math em Predefinição:Math. A expressão Predefinição:Math é frequentemente escrita como Predefinição:Math para abreviar. Desta forma, pode-se construir um grupo $G^{\prime }=(N,H)$ com operação de grupo definida como $(n_1,h_1)\cdot (n_2,h_2)=(n_1\phi (h_1)(n_2),h_1{h}_2)=(n_1{\phi }_{h_1}(n_2),h_1{h}_2)$ para Predefinição:Math em Predefinição:Math e Predefinição:Math em Predefinição:Math. Os subgrupos Predefinição:Math e Predefinição:Math determinam Predefinição:Math a menos de isomorfismos, como será mostrado posteriormente. Dessa forma, pode-se construir o grupo Predefinição:Math a partir de seus subgrupos. Esse tipo de construção é chamado de produto semidireto interno.

Considere agora o produto semidireto externo. Dados quaisquer dois grupos Predefinição:Math e Predefinição:Math e um homomorfismo de grupos Predefinição:Math, pode-se construir um novo grupo $N{⋊}_{\phi }H$, chamado de produto semidireto externo de Predefinição:Math e Predefinição:Math com respeito a Predefinição:Math, definido como segue:Predefinição:Bulleted listIsso define um grupo em que o elemento neutro é Predefinição:Math e o inverso do elemento Predefinição:Math é Predefinição:Math. Pares Predefinição:Math formam um subgrupo normal isomorfo a Predefinição:Math, enquanto pares Predefinição:Math formam um subgrupo isomorfo a Predefinição:Math. O grupo completo é um produto semidireto desses dois subgrupos no sentido dado anteriormente.

Reciprocamente, suponha que seja dado um grupo Predefinição:Math com um subgrupo normal Predefinição:Math e um subgrupo Predefinição:Math, de modo que cada elemento Predefinição:Math de Predefinição:Math pode ser escrito unicamente na forma Predefinição:Math, com Predefinição:Math em Predefinição:Math e Predefinição:Math em Predefinição:Math. Seja Predefinição:Math o homomorfismo (escrito Predefinição:Math) dado por

${\phi }_h(n)=hn{h}^{-1}$

para todo Predefinição:Math

Então Predefinição:Math é isomorfo ao produto semidireto Predefinição:Math. O isomorfismo Predefinição:Math é bem definido por Predefinição:Math devido à unicidade da decomposição Predefinição:Math.

Em Predefinição:Math, tem-se

$(n_1{h}_1)(n_2{h}_2)=n_1{h}_1{n}_2(h_1^{-1}{h}_1)h_2=(n_1{\phi }_{h_1}(n_2))(h_1{h}_2)$

Assim, para Predefinição:Math Predefinição:Math obtém-se

$\begin{array}{cc}\lambda (ab)& =\lambda (n_1{h}_1{n}_2{h}_2)=\lambda (n_1{\phi }_{h_1}(n_2)h_1{h}_2)=(n_1{\phi }_{h_1}(n_2),h_1{h}_2)=(n_1,h_1)\bullet (n_2,h_2)\\ & =\lambda (n_1{h}_1)\bullet \lambda (n_2{h}_2)=\lambda (a)\bullet \lambda (b),\end{array}$

o que prova que Predefinição:Math é um homomorfismo. Visto que Predefinição:Math é obviamente um epimorfismo e monomorfismo, então é de fato um isomorfismo. Isso também explica a definição da regra de multiplicação em Predefinição:Math.

O produto direto é um caso especial do produto semidireto. Para ver isso, seja Predefinição:Math o homomorfismo trivial (isto é, que leva todos os elementos de Predefinição:Math para no automorfismo identidade de Predefinição:Math) então Predefinição:Math é o produto direto Predefinição:Math.

Uma versão do lema da cisão para grupos afirma que um grupo Predefinição:Math é isomorfo a um produto semidireto dos dois grupos Predefinição:Math e Predefinição:Math se, e somente se, existe uma sequência exata curta

$1⟶N\stackrel{\beta }{⟶}G\stackrel{\alpha }{⟶}H⟶1$

e um homomorfismo de grupos Predefinição:Math tal que Predefinição:Math, a aplicação identidade em Predefinição:Math. Neste caso, Predefinição:Math é dada por Predefinição:Math, em que

${\phi }_h(n)={\beta }^{-1}(\gamma (h)\beta (n)\gamma (h^{-1})).$

Exemplos

Grupo diedral

O grupo diedral $D_{2n}$ com Predefinição:Math elementos é isomorfo a um produto semidireto dos grupos cíclicos $C_n$ e $C_2$. Aqui, o elemento não identidade de $C_2$ age sobre $C_n$ invertendo elementos; este é um automorfismo, pois $C_n$ é abeliano. A presentação deste grupo é:

$⟨a,b\mid a^2=e,b^n=e,ab{a}^{-1}=b^{-1}⟩.$

Grupos cíclicos

Mais geralmente, um produto semidireto de quaisquer dois grupos cíclicos $C_m$ com gerador Predefinição:Math e $C_n$ com gerador Predefinição:Math é dado por uma relação extra, Predefinição:Math, com Predefinição:Math e Predefinição:Math coprimos; o que corresponde à presentação

$⟨a,b\mid a^m=e,b^n=e,ab{a}^{-1}=b^k⟩.$

Se Predefinição:Math e Predefinição:Math são coprimos, Predefinição:Math é um gerador de $C_m$ e Predefinição:Math, então a presentação

$⟨a,b\mid a^m=e,b^n=e,ab{a}^{-1}=b^{k^r}⟩$

fornece um grupo isomorfo ao anterior.

Grupo fundamental da garrafa de Klein

O grupo fundamental da garrafa de Klein pode ser apresentado na forma

$⟨a,b\mid ab{a}^{-1}=b^{-1}⟩.$

Portanto, é um produto semidireto do grupo dos inteiros, Predefinição:Math, com Predefinição:Math. O homomorfismo correspondente Predefinição:Math é dado por Predefinição:Math.

Matrizes triangulares superiores

O grupo ${𝕋}_n$ das matrizes triangulares superiores com determinante diferente de zero, ou seja, com entradas diferentes de zero na diagonal, tem uma decomposição como produto semidireto ${𝕋}_n\cong {𝕌}_n⋊{𝔻}_n$ em que ${𝕌}_n$ é o subgrupo das matrizes com apenas $1$ na diagonal, que é chamada de grupo das matrizes unitriangulares superiores, e ${𝔻}_n$ é o subgrupo das matrizes diagonais..A ação do grupo ${𝔻}_n$ sobre ${𝕌}_n$ é induzida pela multiplicação matricial. Definindo

$A=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& x_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & x_n\end{array}\right]$ e $B=\left[\begin{array}{ccccc}1& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1n}\\ 0& 1& a_{23}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$

seu produto matricial é

$AB=\left[\begin{array}{ccccc}{x}_1& x_1{a}_{12}& x_1{a}_{13}& \cdots & x_1{a}_{1n}\\ 0& x_2& x_2{a}_{23}& \cdots & x_2{a}_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & x_n\end{array}\right].$

Isso induz a ação de grupo $m:{𝔻}_n\times {𝕌}_n\to {𝕌}_n$ dada por

$m(A,B)=\left[\begin{array}{ccccc}1& x_1{a}_{12}& x_1{a}_{13}& \cdots & x_1{a}_{1n}\\ 0& 1& x_2{a}_{23}& \cdots & x_2{a}_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right].$

Uma matriz em ${𝕋}_n$ pode ser representado por matrizes em ${𝕌}_n$ e ${𝔻}_n$. Consequentemente ${𝕋}_n\cong {𝕌}_n⋊{𝔻}_n$.

Grupo de isometrias no plano

O grupo euclidiano de todos os movimentos rígidos (isometrias) do plano (funções Predefinição:Math tais que a distância euclidiana entre Predefinição:Math e Predefinição:Math é igual à distância entre Predefinição:Math e Predefinição:Math para todos os Predefinição:Math e Predefinição:Math em Predefinição:Math) é isomorfo a um produto semidireto do grupo abeliano Predefinição:Math (que descreve translações) e o grupo Predefinição:Math de matrizes ortogonais Predefinição:Math (que descreve rotações e reflexões que mantêm a origem fixa). Aplicar uma translação e depois uma rotação ou reflexão tem o mesmo efeito que aplicar primeiro a rotação ou reflexão e depois uma translação pelo vetor de translação rotacionado ou refletido (ou seja, aplicar o conjugado da translação original). Isso mostra que o grupo de translações é um subgrupo normal do grupo euclidiano, que o grupo euclidiano é um produto semidireto do grupo de translações e Predefinição:Math, e que o homomorfismo correspondente Predefinição:Math é dado pela multiplicação de matrizes: Predefinição:Math.

Grupo ortogonal O(n)

O grupo ortogonal Predefinição:Math de todas as matrizes ortogonais reais Predefinição:Math (intuitivamente o conjunto de todas as rotações e reflexões do espaço Predefinição:Math dimensional que mantém a origem fixa) é isomorfo a um produto semidireto do grupo Predefinição:Math (que consiste de todas as matrizes ortogonais com determinante Predefinição:Math, intuitivamente as rotações do espaço Predefinição:Math dimensional) e Predefinição:Math. Se Predefinição:Math for representado como o grupo multiplicativo de matrizes Predefinição:Math, onde Predefinição:Math é uma reflexão do espaço Predefinição:Math dimensional que mantém a origem fixa (ou seja, uma matriz ortogonal com determinante Predefinição:Math representando uma involução), então Predefinição:Math é dada por Predefinição:Math, para todos H em Predefinição:Math e Predefinição:Math em Predefinição:Math. No caso não trivial (quando Predefinição:Math não é a identidade), isso significa que Predefinição:Math é a conjugação de operações pela reflexão (no espaço tridimensional um eixo de rotação e a direção de rotação são substituídos por sua "imagem espelhada").

Transformações semilineares

O grupo de transformações semilineares em um espaço vetorial Predefinição:Math sobre um corpo Predefinição:Math, frequentemente denotado Predefinição:Math, é isomorfo a um produto semidireto do grupo linear Predefinição:Math (um subgrupo normal de Predefinição:Math), e o grupo de automorfismos de Predefinição:Math.

Grupos cristalográficos

Na cristalografia, o grupo espacial de um cristal se divide como o produto semidireto do grupo de pontos e do grupo de translação se, e somente se, o grupo espacial for simórfico. Os grupos espaciais não simórficos têm grupos de pontos que nem mesmo estão contidos como subconjunto do grupo espacial, o que é responsável por grande parte da complicação em sua análise.

Não exemplos

Existem muitos grupos que não podem ser expressos como um produto semidireto de grupos, embora contenham um subgrupo normal não trivial. Obviamente, todo grupo simples não pode ser expresso como um produto semidireto, mas também existem alguns contraexemplos comuns. Observe que embora nem todo grupo $G$ possa ser expresso como uma extensão cindida de $H$ por $A$, verifica-se que esse grupo pode ser imerso no produto entrelaçado $A\wr H$ pelo teorema da imersão universal.

Z₄

O grupo cíclico ${\mathbb{Z}}_4$ não é um grupo simples, pois tem um subgrupo de ordem 2, a saber $\{0,2\}\cong {\mathbb{Z}}_2$ é um subgrupo e seu quociente é ${\mathbb{Z}}_2$, então há uma extensão $$0\to {\mathbb{Z}}_2\to {\mathbb{Z}}_4\to {\mathbb{Z}}_2\to 0$$Se a extensão fosse cindida, o grupo $G$ em $$0\to {\mathbb{Z}}_2\to G\to {\mathbb{Z}}_2\to 0$$ seria isomorfo a ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2$.

Q₈

O grupo dos oito quatérnios $\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}$, em que $ijk=-1$ e $i^2=j^2=k^2=-1$, é outro exemplo de um grupo que possui subgrupos não triviais, mas ainda assim não cinde. Por exemplo, o subgrupo gerado por $i$ é isomorfo a ${\mathbb{Z}}_4$ e é normal. Ele também tem um subgrupo de ordem $2$ gerado por $-1$. Isso significaria $Q_8$ teria que ser uma extensão cindida em $$0\to {\mathbb{Z}}_4\to Q_8\to {\mathbb{Z}}_2\to 0$$ o que não pode acontecer. Isso pode ser mostrado calculando-se o primeiro grupo de cohomologia de grupos de ${\mathbb{Z}}_2$ com coeficientes em ${\mathbb{Z}}_4$, então $H^1({\mathbb{Z}}_2,{\mathbb{Z}}_4)\cong \mathbb{Z}/2$ e observando-se que os dois grupos nessas extensões são ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_4$ e o grupo diedral $D_8$. Mas, como nenhum desses grupos é isomorfos a $Q_8$, o grupo dos quatérnios não cinde. Esta não existência de isomorfismos pode ser verificada observando que a extensão trivial é abeliana enquanto que $Q_8$ não é abeliano, e observando que os únicos subgrupos normais são ${\mathbb{Z}}_2$ e ${\mathbb{Z}}_4$, mas $Q_8$ tem três subgrupos isomorfos a ${\mathbb{Z}}_4$.

Propriedades

Se Predefinição:Math é o produto semidireto do subgrupo normal Predefinição:Math e do subgrupo Predefinição:Math, e tanto Predefinição:Math quanto Predefinição:Math são finitos, então a ordem de Predefinição:Math é igual ao produto das ordens de Predefinição:Math e Predefinição:Math. Isso decorre do fato de que Predefinição:Math é da mesma ordem que o produto semidireto externo de Predefinição:Math e Predefinição:Math, cujo conjunto subjacente é o produto cartesiano Predefinição:Math.

Relação com produtos diretos

Suponha que Predefinição:Math seja um produto semidireto do subgrupo normal Predefinição:Math e do subgrupo Predefinição:Math. Se Predefinição:Math também é normal em Predefinição:Math, ou equivalentemente, se existe um homomorfismo Predefinição:Math que é a identidade em Predefinição:Math com núcleo Predefinição:Math, então Predefinição:Math é o produto direto de Predefinição:Math e Predefinição:Math.

O produto direto de dois grupos Predefinição:Math e Predefinição:Math pode ser pensado como o produto semidireto de Predefinição:Math e Predefinição:Math com respeito a Predefinição:Math para todo Predefinição:Math em Predefinição:Math.

Observe que em um produto direto, a ordem dos fatores não é importante, uma vez que Predefinição:Math é isomorfo a Predefinição:Math O mesmo não vale para os produtos semidiretos, pois os dois fatores desempenham papéis diferentes.

Além disso, o resultado de um produto semidireto (próprio) por meio de um homomorfismo não trivial nunca é um grupo abeliano, mesmo que os grupos fatores sejam abelianos.

Não unicidade dos produtos semidiretos (e outros exemplos)

Ao contrário do que ocorre com o produto direto, um produto semidireto de dois grupos não é, em geral, único; se Predefinição:Math e Predefinição:Math são dois grupos que contêm cópias isomorfas de Predefinição:Math como um subgrupo normal e Predefinição:Math como um subgrupo, e ambos são um produto semidireto de Predefinição:Math e Predefinição:Math, então não resulta que Predefinição:Math e Predefinição:Math são isomorfos porque o o produto semidireto também depende da escolha de uma ação de Predefinição:Math sobre Predefinição:Math.

Por exemplo, existem quatro grupos não isomorfos de ordem 16 que são produtos semidiretos de Predefinição:Math e Predefinição:Math; neste caso, Predefinição:Math é necessariamente um subgrupo normal porque tem índice 2. Um desses quatro produtos semidiretos é o produto direto, enquanto os outros três são grupos não abelianos:

• o grupo diedral de ordem 16
• o grupo quasidiedral de ordem 16
• o grupo de Iwasawa de ordem 16

Se um determinado grupo for um produto semidireto, não haverá garantia de que essa decomposição seja única. Por exemplo, existe um grupo de ordem 24 (o único contendo seis elementos de ordem 4 e seis elementos de ordem 6) que pode ser expresso como produto semidireto das seguintes maneiras: Predefinição:Math.

Existência

Predefinição:AP Em geral, não há caracterização conhecida (ou seja, uma condição necessária e suficiente) para a existência de produtos semidiretos em grupos. No entanto, são conhecidas algumas condições suficientes que garantem a existência em certos casos. Para grupos finitos, o teorema de Schur-Zassenhaus garante a existência de um produto semidireto quando a ordem do subgrupo normal é coprima com a ordem do grupo quociente.

Por exemplo, o teorema de Schur-Zassenhaus implica a existência de um produto semidireto entre grupos de ordem 6; existem dois desses produtos, um dos quais é um produto direto e o outro um grupo diedral. Em contraste, o teorema de Schur-Zassenhaus não diz nada sobre grupos de ordem 4 ou grupos de ordem 8, por exemplo.

Generalizações

Dentro da teoria de grupo, a construção de produtos semidiretos pode ser levada muito mais longe. O produto de Zappa–Szép de grupos é uma generalização que, em sua versão interna, não assume que nenhum dos subgrupos seja normal.

Também existe uma construção na teoria dos anéis, o produto cruzado de anéis. Isso é construído da maneira natural a partir do anel de grupo para um produto semidireto de grupos. A abordagem da teoria de anéis pode ser generalizada ainda mais para a soma semidireta de álgebras de Lie.

Na geometria, também existe um produto cruzado para ações de grupos em espaço topológicos; infelizmente, em geral ele não comutativo mesmo que o grupo seja abeliano. Nesse contexto, o produto semidireto é o espaço das órbitas da ação do grupo. Esta última abordagem foi defendida por Alain Connes como uma substituta para abordagens por técnicas topológicas convencionais; ver geometria não comutativa.

Existem também generalizações de longo alcance na teoria das categorias. Elas mostram como construir categorias fibradas a partir de categorias indexadas. Esta é uma forma abstrata da construção do produto semidireto externo.

Grupoides

Outra generalização é para grupoides. Isso ocorre na topologia porque se um grupo Predefinição:Math age sobre um espaço Predefinição:Math ele também age sobre o grupoide fundamental Predefinição:Math do espaço. Então o produto semidireto Predefinição:Math é relevante para encontrar o grupoide fundamental do espaço orbital Predefinição:Math. Para obter detalhes completos, consulte o capítulo 11 do livro referenciado abaixo, e também alguns detalhes sobre produto semidireto no ncatlab.

Categorias abelianas

Produtos semidiretos não triviais não surgem em categorias abelianas, como a categoria dos módulos. Nesse caso, o lema da cisão mostra que todo produto semidireto é um produto direto. Assim, a existência de produtos semidiretos reflete uma falha da categoria em ser abeliana.

Notação

Normalmente, o produto semidireto de um grupo Predefinição:Math agindo em um grupo Predefinição:Math (na maioria dos casos por conjugação como subgrupos de um grupo comum) é denotado por Predefinição:Math ou Predefinição:Math No entanto, algumas fontesPredefinição:Quais podem usar este símbolo com o significado oposto. Caso a ação Predefinição:Math deva ser explicitada, escreve-se também Predefinição:Math. Uma maneira de pensar sobre o símbolo Predefinição:Math é como uma combinação do símbolo para o subgrupo normal (Predefinição:Math) e o símbolo para o produto (Predefinição:Math). Barry Simon, em seu livro sobre a teoria da representação de grupos, emprega a notação incomum $N{\mathrm{Ⓢ}}_{\phi }H$ para o produto semidireto.

O Unicode lista quatro variantes:

	Valor	MathML	Descrição Unicode
⋉	U+22C9	ltimes	LEFT NORMAL FACTOR SEMIDIRECT PRODUCT
⋊	U+22CA	rtimes	RIGHT NORMAL FACTOR SEMIDIRECT PRODUCT
⋋	U+22CB	lthree	LEFT SEMIDIRECT PRODUCT
⋌	U+22CC	rthree	RIGHT SEMIDIRECT PRODUCT

Aqui, a descrição Unicode do símbolo rtimes diz "fator normal à direita", em contraste com seu significado usual na prática matemática.

No LaTeX, os comandos \rtimes e \ltimes produzem os caracteres correspondentes.

Ver também

• Álgebra de Lie afim
• Construção de Grothendieck, uma construção da teoria das categorias que generaliza o produto semidireto
• Holomorfo
• Soma semidireta de álgebras de Lie
• Produto subdireto
• Produto entrelaçado
• Produto de Zappa–Szép

Referências

• R. Brown, Topology and groupoids, Booksurge. 2006. Predefinição:ISBN