Espaço de Wiener

Norbert Wiener

Em matemática, o espaço de Wiener clássico é a compilação de todas as funções contínuas em um dado domínio (geralmente um subintervalo da reta real), assumindo valores em um espaço métrico (geralmente um espaço euclidiano de $n$ dimensões). O espaço de Wiener clássico é útil no estudo de processos estocásticos cujos caminhos amostrais forem funções contínuas. Tem este nome graças ao matemático norte-americano Norbert Wiener.

Definição

Considere $E\subseteq R^n$ e um espaço métrico $(M,d)$. O espaço de Wiener clássico $C(E;M)$ é o espaço de todas as funções contínuas $f:E\to M$ para todo $t$ fixado em $E$,

$d(f(s),f(t))\to 0$ as $|s-t|\to 0.$

Em quase todas as aplicações, toma-se $E=[0,T]$ ou $[0,+\mathrm{\infty })$ e $M=R^n$ para algum $n$ em $N$. Por brevidade, escreve-se $C$ para $C([0,T];R^n)$; este é um espaço vetorial. Escreve-se $C_0$ para o subespaço linear que consiste apenas daquelas funções que tomam valor $0$ no ínfimo do conjunto $E$. Muitos autores se referem a $C_0$ como "espaço de Wiener clássico".

Propriedades do espaço de Wiener clássico

Topologia uniforme

O espaço vetorial $C$ pode ser equipado com a norma uniforme

$\Vert f\Vert :=\underset{t\in [0,T]}{\sup }|f(t)|$

tornando-o um espaço vetorial normalizado ^{(português brasileiro)} ou normado ^{(português europeu)} (na verdade, um espaço de Banach). Esta norma induz uma métrica em $C$ no sentido comum: $d(f,g):=\Vert f-g\Vert$. A topologia gerada pelos conjuntos abertos nesta métrica é a topologia de convergência uniforme em $[0,T]$ ou topologia uniforme.

Considerando o domínio $[0,T]$ como "tempo" e o intervalo $R^n$ como "espaço", uma visão intuitiva da topologia uniforme é que as duas funções estão "próximas" se pudermos "movimentar um pouco o espaço" e fazermos o gráfico de $f$ permanecer em cima do gráfico de $g$, enquanto deixamos o tempo fixo. Isto contrasta com a topologia de Skorokhod, que nos permite "movimentar" tanto espaço, como tempo.

Separabilidade e completude

No que se refere à métrica uniforme, $C$ é um espaço tanto separável, quanto completo:

• a separabilidade é uma consequência do teorema de Stone-Weierstrass;
• a completude é uma consequência do fato de que o limite uniforme de uma sequência de funções contínuas é contínuo.

Por ser tanto separável, como completo, $C$ é um espaço polonês.

Tightness no espaço de Wiener clássico

Lembre que o módulo de continuidade para um função $f:[0,T]\to R^n$ é definido por

${\omega }_f(\delta ):=\sup \{|f(s)-f(t)||s,t\in [0,T],|s-t|\le \delta \}.$

Esta definição faz sentido mesmo se $f$ não for contínua e pode-se mostrar que $f$ é contínua se e somente se seu módulo de continuidade tender a zero conforme $\delta \to 0$:

$f\in C⟺{\omega }_f(\delta )\to 0$ conforme $\delta \to 0$.

Por uma aplicação do teorema de Arzelà-Ascoli, pode-se mostrar que uma sequência $({\mu }_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ de medidas de probabilidade em um espaço de Wiener clássico $C$ é tight se e somente se ambas as condições seguintes forem atendidas:

$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{\mu }_n\{f\in C||f(0)|\ge a\}=0$ e

$\underset{\delta \to 0}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{\mu }_n\{f\in C|{\omega }_f(\delta )\ge \epsilon \}=0$ para todo $\epsilon >0$.

Medida de Wiener clássica

Há uma medida "padrão" em $C_0$, conhecida como medida de Wiener clássica (ou simplesmente medida de Wiener). A medida de Wiener tem (pelo menos) duas caracterizações equivalentes:

Se o movimento browniano for definido como sendo um processo estocástico com propriedade de Markov $B:[0,T]\times \mathrm{\Omega }\to R^n$, começando na origem, com caminhos quase certamente contínuos e incrementos independentes

$B_t-B_s\sim \mathrm{N}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}(0,|t-s|),$

então a medida de Wiener clássica $\gamma$ é a lei do processo $B$.

Alternativamente, pode-se usar a construção do espaço de Wiener abstrato, em que a medida de Wiener clássica $\gamma$ é a radonificação da medida gaussiana canônica de conjunto cilíndrico no espaço de Hilbert e de Cameron-Martin correspondente a $C_0$.

A medida de Wiener clássica é uma medida gaussiana: em particular, é uma medida de probabilidade estritamente positiva.

Dada a medida clássica de Wiener $\gamma$ em $C_0$, a medida produto ${\gamma }^n\times \gamma$ é uma medida de probabilidade em $C$, em que ${\gamma }^n$ denota a medida gaussiana padrão em $R^n$.

Ver também

• Espaço de Skorokhod, uma generalização do espaço de Wiener clássico, que permite que as funções sejam descontínuas
• Processo de Wiener