Identidades do cálculo vetorial

As identidades a seguir são relevantes para o Cálculo Vetorial:

Notação de Operadores

Gradiente

No Sistema de coordenadas cartesiano em três dimensões, o gradiente de alguma função $f(x,y,z)$ é dado por:

$\mathrm{grad}(f)=\mathrm{\nabla }f=\frac{\partial f}{\partial x}𝐢+\frac{\partial f}{\partial y}𝐣+\frac{\partial f}{\partial z}𝐤$

onde i, j, k são os vetores de uma Base ortonormal.

O gradiente de um campo tensorial, $𝐀$, de ordem n é geralmente escrito como:

$\mathrm{grad}(𝐀)=\mathrm{\nabla }𝐀$

e é um campo tensorial de ordem Predefinição:Nowrap. Em particular, se o campo tensorial tem ordem 0, como por exemplo um campo escalar $\psi$, o gradiente resultante,

$\mathrm{grad}(\psi )=\mathrm{\nabla }\psi$

é um campo vetorial.

Divergente

No espaço cartesiano tridimensional, a divergência de uma campo vetorial continuamente diferenciável $𝐅=F_x𝐢+F_y𝐣+F_z𝐤$ é definida como a função escalar:

$\mathrm{div}𝐅=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})\cdot (F_x,F_y,F_z)=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.$

A divergência de um campo tensorial, $𝐀$, de ordem não nula n, é geralmente escrita como

$\mathrm{div}(𝐀)=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀$

e é uma contração para um tensor de ordem Predefinição:Nowrap. Especificamente, a divergência de um vetor é um escalar. A divergência de um campo tensorial de ordem superor pode ser encontrada decompondo-se o campo tensorial na soma dos produtos externos, assim permitindo o uso da identidade,

$\mathrm{\nabla }\cdot (𝐁\otimes \widehat{𝐀})=\widehat{𝐀}(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁)+(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })\widehat{𝐀}$

onde $𝐁\cdot \mathrm{\nabla }$ é a derivada direcional na direção $𝐁$ multiplicada pela sua magnitude. Especificamente, para o produto externo de dois vetores,

$\mathrm{\nabla }\cdot (𝐚{𝐛}^{\mathrm{T}})=𝐛(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐚)+(𝐚\cdot \mathrm{\nabla })𝐛.$

Rotacional

Em coordenadas cartesianas, para $𝐅=F_x𝐢+F_y𝐣+F_z𝐤$:

$\mathrm{rot}(𝐅)$ = $\mathrm{\nabla }\times 𝐅=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ F_x& F_y& F_z\end{array}\right|$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐅=(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z})𝐢+(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x})𝐣+(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})𝐤$

onde i, j, and k são os vetores unitários para os eixos x-, y-, e z- , respectivamente.

Para um campo vetorial tridimensional $𝐯$, o rotacional também é um campo vetorial tridimensional, normalmente escrito como:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐯$

ou na Notação de Einstein como:

${\epsilon }^{ijk}\frac{\partial v_k}{\partial x^j}$

onde ε é o Símbolo de Levi-Civita.

Laplaciano

Em coordenadas cartesianas, o Laplaciano de uma função $f(x,y,z)$ é

$\mathrm{\Delta }f={\mathrm{\nabla }}^{2}f=(\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla })f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}.$

Para um campo tensorial, $𝐀$, o laplaciano é geralmente escrito como:

$\mathrm{\Delta }𝐀={\mathrm{\nabla }}^2𝐀=(\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla })𝐀$

e é um campo tensorial de mesma ordem.

Notações especiais

Na Notação de Feynman,

${\mathrm{\nabla }}_{𝐁}\left(𝐀\mathbf{\cdot }𝐁\right)=𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)+(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁$

onde a notação ∇_B significa que o gradiente subscrito opera somente no fator B.

Uma ideia semelhante mas menos geral é utilizada na álgebra geométrica, onde a notação de sobreponto Hestenes é utilizada. A identidade acima é então expressada como:

$\dot{\mathrm{\nabla }}(𝐀\cdot \dot{𝐁})=𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)+(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁$

onde o sobreponto define o escopo da derivada vetorial. O vetor com sobreponto, neste caso B, é diferenciado, enquanto o A, sem ponto, é mantido constante.

Pelo resto deste artigo, a notação subscrita de Feynman será usada onde for apropriado.

Propriedades

Propriedades distributivas

$\mathrm{\nabla }(\psi +\varphi )=\mathrm{\nabla }\psi +\mathrm{\nabla }\varphi$

$\mathrm{\nabla }\cdot (𝐀+𝐁)=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁$

$\mathrm{\nabla }\times (𝐀+𝐁)=\mathrm{\nabla }\times 𝐀+\mathrm{\nabla }\times 𝐁$

Regra do Produto para o Gradiente

O gradiente do produto de dois campos escalares $\psi$ and $\varphi$ segue a mesma forma da regra do produto no cálculo de variável simples.

$\mathrm{\nabla }(\psi \varphi )=\varphi \mathrm{\nabla }\psi +\psi \mathrm{\nabla }\varphi$

Produto de um Escalar e um Vetor

$\mathrm{\nabla }\cdot (\psi 𝐀)=\psi (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)+𝐀\cdot (\mathrm{\nabla }\psi )$

$\mathrm{\nabla }\times (\psi 𝐀)=\psi (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)+(\mathrm{\nabla }\psi )\times 𝐀$

Regra do Quociente

$\mathrm{\nabla }\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{g\mathrm{\nabla }f-(\mathrm{\nabla }g)f}{g^2}$

$\mathrm{\nabla }\cdot \left(\frac{𝐀}{g}\right)=\frac{g\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀-(\mathrm{\nabla }g)\cdot 𝐀}{g^2}$

$\mathrm{\nabla }\times \left(\frac{𝐀}{g}\right)=\frac{g\mathrm{\nabla }\times 𝐀-(\mathrm{\nabla }g)\times 𝐀}{g^2}$

Regra da Cadeia

$\mathrm{\nabla }(f\circ g)=(f^{\prime }\circ g)\mathrm{\nabla }g$

$\mathrm{\nabla }(f\circ 𝐀)=(\mathrm{\nabla }f\circ 𝐀)\mathrm{\nabla }𝐀$

$\mathrm{\nabla }\cdot (𝐀\circ f)=({𝐀}^{\prime }\circ f)\cdot \mathrm{\nabla }f$

$\mathrm{\nabla }\times (𝐀\circ f)=-({𝐀}^{\prime }\circ f)\times \mathrm{\nabla }f$

Produto Escalar ou Produto Vetorial Interno

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }(𝐀\cdot 𝐁)& ={𝐉}_{𝐀}^{\mathrm{T}}𝐁+{𝐉}_{𝐁}^{\mathrm{T}}𝐀\\ & =(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁+(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀+𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)+𝐁\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀).\end{array}$

onde Predefinição:Math denota o Jacobiano de Predefinição:Math.

Alternativamente, usando notação subscrita de Feynman,

$\mathrm{\nabla }(𝐀\cdot 𝐁)={\mathrm{\nabla }}_{𝐀}(𝐀\cdot 𝐁)+{\mathrm{\nabla }}_{𝐁}(𝐀\cdot 𝐁).$

Como um caso especial, quando Predefinição:Math,

$\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }(𝐀\cdot 𝐀)& ={𝐉}_{𝐀}^{\mathrm{T}}𝐀\\ & =(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐀+𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀).\end{array}$

Produto Vetorial

$\mathrm{\nabla }\cdot (𝐀\times 𝐁)=(\mathrm{\nabla }\times 𝐀)\cdot 𝐁-𝐀\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)$

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\times (𝐀\times 𝐁)& =𝐀(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁)-𝐁(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)+(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀-(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁\\ & =(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁+𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀-(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀+𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁\\ & =\mathrm{\nabla }\cdot (𝐁{𝐀}^{\mathrm{T}})-\mathrm{\nabla }\cdot (𝐀{𝐁}^{\mathrm{T}})\\ & =\mathrm{\nabla }\cdot (𝐁{𝐀}^{\mathrm{T}}-𝐀{𝐁}^{\mathrm{T}})\end{array}$

Derivações Segundas

Rotacional do Gradiente

O rotacional do gradiente de qualquer campo escalar contínuo duplamente diferenciável é sempre o vetor nulo.

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\varphi )=\mathrm{𝟎}$

Divergente do Rotacional

O divergente do rotacional de qualquer campo vetorial A (cujas componentes são funções que admitem a segunda derivada, sendo a última uma função contínua) é sempre zero:

$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=0$

Divergente do Gradiente

O Laplaciano de um campo escalar é o divergente do seu gradiente:

${\mathrm{\nabla }}^2\psi =\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\psi )$

O resultado é um valor escalar.

Rotacional do Rotacional

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐀$

Aqui,∇² é o vetor Laplaciano operando no campo vetorial A.

Sumário de Identidades Importantes

Adição e Multiplicação

• $𝐀+𝐁=𝐁+𝐀$
• $𝐀\cdot 𝐁=𝐁\cdot 𝐀$
• $𝐀\times 𝐁=\mathbf{-}𝐁\times 𝐀$
• $(𝐀+𝐁)\cdot 𝐂=𝐀\cdot 𝐂+𝐁\cdot 𝐂$
• $(𝐀+𝐁)\times 𝐂=𝐀\times 𝐂+𝐁\times 𝐂$
• $𝐀\cdot (𝐁\times 𝐂)=𝐁\cdot (𝐂\times 𝐀)=𝐂\cdot (𝐀\times 𝐁)$ (Produto triplo)
• $𝐀\times (𝐁\times 𝐂)=(𝐀\cdot 𝐂)𝐁-(𝐀\cdot 𝐁)𝐂$ (Produto triplo)
• $(𝐀\times 𝐁)\times 𝐂=(𝐀\cdot 𝐂)𝐁-(𝐁\cdot 𝐂)𝐀$ (Produto triplo)
• $𝐀\times (𝐁\times 𝐂)=(𝐀\times 𝐁)\times 𝐂+𝐁\times (𝐀\times 𝐂)$ (Identidade de Jacobi)
• $𝐀\times (𝐁\times 𝐂)+𝐂\times (𝐀\times 𝐁)+𝐁\times (𝐂\times 𝐀)=0$ (Identidade de Jacobi)
• $(𝐀\times 𝐁)\cdot (𝐂\times 𝐃)=(𝐀\cdot 𝐂)(𝐁\cdot 𝐃)-(𝐁\cdot 𝐂)(𝐀\cdot 𝐃)$
• $(𝐀\cdot (𝐁\times 𝐂))𝐃=(𝐀\cdot 𝐃)(𝐁\times 𝐂)+(𝐁\cdot 𝐃)(𝐂\times 𝐀)+(𝐂\cdot 𝐃)(𝐀\times 𝐁)$
• $(𝐀\times 𝐁)\times (𝐂\times 𝐃)=(𝐀\cdot (𝐁\times 𝐃))𝐂-(𝐀\cdot (𝐁\times 𝐂))𝐃$

Diferenciação

Gradiente

• $\mathrm{\nabla }(\psi +\varphi )=\mathrm{\nabla }\psi +\mathrm{\nabla }\varphi$
• $\mathrm{\nabla }(\psi \varphi )=\varphi \mathrm{\nabla }\psi +\psi \mathrm{\nabla }\varphi$
• $\mathrm{\nabla }(𝐀\cdot 𝐁)=(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁+(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀+𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)+𝐁\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)$

Divergente

• $\mathrm{\nabla }\cdot (𝐀+𝐁)=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁$
• $\mathrm{\nabla }\cdot \left(\psi 𝐀\right)=\psi \mathrm{\nabla }\cdot 𝐀+𝐀\cdot \mathrm{\nabla }\psi$
• $\mathrm{\nabla }\cdot (𝐀\times 𝐁)=𝐁\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)-𝐀\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)$

Rotacional

• $\mathrm{\nabla }\times (𝐀+𝐁)=\mathrm{\nabla }\times 𝐀+\mathrm{\nabla }\times 𝐁$
• $\mathrm{\nabla }\times \left(\psi 𝐀\right)=\psi \mathrm{\nabla }\times 𝐀+\mathrm{\nabla }\psi \times 𝐀$
• $\mathrm{\nabla }\times (𝐀\times 𝐁)=𝐀(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁)-𝐁(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)+(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀-(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁$

Derivações Segundas

DCG chart: Um mapa demonstrando todas as regras pertinentes as segundas derivações. D, C, G, L e CC representam, respectivamente, divergente, rotacional, gradiente, Laplaciano e rotacional do rotacional. As setas indicam a existência de segundas derivações. O círculo azul no centro representa o rotacional do rotacional, enquanto os outros dois círculo vermelhos tracejados significam que divergente do divergente e gradiente do gradiente não existem.

• $\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=0$
• $\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\psi )=\mathrm{𝟎}$
• $\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\psi )={\mathrm{\nabla }}^2\psi$ (Laplaciano escalar)
• $\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)-\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)={\mathrm{\nabla }}^2𝐀$ (Laplaciano vetorial)
• $\mathrm{\nabla }\cdot (\varphi \mathrm{\nabla }\psi )=\varphi {\mathrm{\nabla }}^2\psi +\mathrm{\nabla }\varphi \cdot \mathrm{\nabla }\psi$
• $\psi {\mathrm{\nabla }}^2\varphi -\varphi {\mathrm{\nabla }}^2\psi =\mathrm{\nabla }\cdot (\psi \mathrm{\nabla }\varphi -\varphi \mathrm{\nabla }\psi )$
• ${\mathrm{\nabla }}^2(\varphi \psi )=\varphi {\mathrm{\nabla }}^2\psi +2\mathrm{\nabla }\varphi \cdot \mathrm{\nabla }\psi +\psi {\mathrm{\nabla }}^2\varphi$
• ${\mathrm{\nabla }}^2(\psi 𝐀)=𝐀{\mathrm{\nabla }}^2\psi +2(\mathrm{\nabla }\psi \cdot \mathrm{\nabla })𝐀+\psi {\mathrm{\nabla }}^2𝐀$
• ${\mathrm{\nabla }}^2(𝐀\cdot 𝐁)=𝐀\cdot {\mathrm{\nabla }}^2𝐁-𝐁\cdot {\mathrm{\nabla }}^2𝐀+2\mathrm{\nabla }\cdot ((𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀+𝐁\times \mathrm{\nabla }\times 𝐀)$(Identidade vetorial de Green)

Derivações Terceiras

• ${\mathrm{\nabla }}^2(\mathrm{\nabla }\psi )=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\psi ))=\mathrm{\nabla }({\mathrm{\nabla }}^2\psi )$
• ${\mathrm{\nabla }}^2(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀))=\mathrm{\nabla }\cdot ({\mathrm{\nabla }}^2𝐀)$
• ${\mathrm{\nabla }}^2(\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=-\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀))=\mathrm{\nabla }\times ({\mathrm{\nabla }}^2𝐀)$

Integração

Abaixo, o símbolo ∂ significa "contorno de".

Integrais de Superfície-volume

Nos teoremas de integral de superfície-volume, V denota o volume tridimensional correspondente ao contorno bidimensional S = ∂V (uma superfície fechada):

• $\int \underset{\partial V}{\int }◯$$𝐀\cdot d𝐒=\underset{V}{\iiint }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)dV$ (Teorema da divergência)
• $\int \underset{\partial V}{\int }◯$$\psi d𝐒=\underset{V}{\iiint }\mathrm{\nabla }\psi dV$
• $\int \underset{\partial V}{\int }◯$$(\widehat{𝐧}\times 𝐀)dS=\underset{V}{\iiint }(\mathrm{\nabla }\times 𝐀)dV$
• $\int \underset{\partial V}{\int }◯$$\psi (\mathrm{\nabla }\phi \cdot \widehat{𝐧})dS=\underset{V}{\iiint }(\psi {\mathrm{\nabla }}^2\phi +\mathrm{\nabla }\phi \cdot \mathrm{\nabla }\psi )dV$ (Primeira Identidade de Green)
• $\int \underset{\partial V}{\int }◯$$[(\psi \mathrm{\nabla }\phi -\phi \mathrm{\nabla }\psi )\cdot \widehat{𝐧}]dS=G$

$G=\int \underset{\partial V}{\int }◯$$[\psi \frac{\partial \phi }{\partial n}-\phi \frac{\partial \psi }{\partial n}]dS$ $=\underset{V}{\iiint }(\psi {\mathrm{\nabla }}^2\phi -\phi {\mathrm{\nabla }}^2\psi )dV$ (Segunda Identidade de Green)

Integrais de Curva-Superfície

Nos teoremas de integral de curva-superfície a seguir S denta uma superfície bidimensional aberta com contorno correspondente $C=\partial S$ (uma curva fechada):

• ${\oint }_{\partial S}𝐀\cdot d\mathit{\ell }=\underset{S}{\iint }(\mathrm{\nabla }\times 𝐀)\cdot d𝐬$ Predefinição:Pad (Teorema de Stokes)
• ${\oint }_{\partial S}\psi d\mathit{\ell }=\underset{S}{\iint }(\widehat{𝐧}\times \mathrm{\nabla }\psi )dS$

Integração ao redor de uma curva fechada no sentido horário é o negativo da mesma integral de linha no sentido anti-horário, o que é análogo a mudar a inverter os limites em uma integral definida.

Leitura Adicional

• Predefinição:Citar livro
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