Operador fechado

Predefinição:Sem notas Em matemática, especialmente na análise funcional, os operadores lineares fechados formam uma importante classe de operadores lineares em espaços de Banach. Todo operador linear limitado é fechado e muitos operadores lineares não-limitados de importância na matemática aplicada são fechados. A classe dos operadores fechados são suficientemente bem comportados a ponto de se poder desenvolver um teorema espectral para eles.

Seja $X$ um espaço de Banach. Um operador linear A

$A:𝒟(A)\subset X\to X$

é dito fechado se para cada seqüência $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ em $𝒟(A)$ que converge para um ponto $x\in X$ tal que $A{x}_n\to y\in X$ tem-se que:

$x\in 𝒟(A)$ e

$Ax=y.$

Equivalentemente, $A$ é fechado se e somente se seu gráfico é fechado.

Exemplo

Considere $X=C^0[a,b]$ o espaço das funções contínuas no intervalo $[a,b]$ e $T$ o operador derivada:

$Tf:=\frac{d}{dx}f$, definido no domínio

$D(T)=C^1[a,b]$

Então se $f_n(x)\to f$ e $T{f}_n(x)\to g$ ambos na norma do supremo ou, equivalentemente, uniformemente, então, não é difícil ver que:

$T{f}_n\to Tf$

Teorema

• O teorema do gráfico fechado afirma que um operador fechado definido em todo espaço é contínuo. Portanto, um operador fechado descontínuo, como o exemplo acima, não pode ser definido em todo o espaço.

Bibliografia

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