Testes de convergência

Na matemática, os testes de convergência são métodos para confirmar e testar a convergência, convergência condicional, convergência absoluta, intervalo de convergência ou divergência de uma série infinita $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ .

Lista de testes

Limite da soma

Se o limite da soma for indefinido ou diferente de zero, isso é $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n\ne 0$, então a série deve divergir. Nesse sentido, as somas parciais são de Cauchy apenas se esse limite existir e for igual a zero. O teste é inconclusivo se o limite da soma for zero.

Teste de razão

Isso também é conhecido como critério de D'Alembert .

Suponha que existe $r$ de tal modo que

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=r.$

Se r <1, a série é absolutamente convergente. Se r > 1, então a série diverge. Se r = 1, o teste de razão é inconclusivo e as séries podem convergir.

Teste de raiz

Este teste também é conhecido como o n-ésimo teste de raiz ou critério de Cauchy.

Seja:

$r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|a_n|},$

Onde $\mathrm{lim\; sup}$ denota o limite superior (possivelmente $\mathrm{\infty }$ ; se o limite existe, é o mesmo valor).

Se r <1, a série converge. Se r > 1, então a série diverge. Se r = 1, o teste de raiz é inconclusivo e a série pode convergir ou divergir.

O teste de raiz é mais forte do que o teste de razão uma vez que sempre que o teste de razão determina a convergência ou divergência de uma série infinita, o teste de raiz também, mas não o contrário.

Por exemplo, para a série

1 + 1 + 0,5 + 0,5 + 0,25 + 0,25 + 0,125 + 0,125 + ... = 4

Vemos que a convergência decorre do teste de raiz, mas não do teste de razão.

Teste da integral

A série pode ser comparada a uma integral para estabelecer convergência ou divergência. Considerando $f:[1,\mathrm{\infty })\to {ℝ}_{+}$ sendo uma função não negativa e monotonicamente decrescente, de modo que $f(n)=a_n$ .

E se

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{t}{\int }}f(x)dx<\mathrm{\infty },$

então a série converge. De maneira análoga, se a integral diverge, a série também diverge.

Em outras palavras, a série $a_n$ converge se e somente se a integral convergir.

Teste da comparação direta

Se a série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ é uma série absolutamente convergente e $|a_n|\le |b_n|$ para n suficientemente grande, então a série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converge absolutamente.

Teste da comparação no limite

Se $\{a_n\},\{b_n\}>0$, (ou seja, cada elemento das duas sequências é positivo) e o limite $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}$ existe, é finito e diferente de zero, então $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ diverge se e somente se $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ diverge.

Teste de condensação de Cauchy

Seja $\left\{a_n\right\}$ uma sequência positiva não crescente. Então a soma $A=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converge se e somente se a soma $A^{*}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^n{a}_{2^n}$ converge. Além disso, se eles convergirem, então $A\le A^{*}\le 2A$ é válida.

Teste de Abel

Suponha que as seguintes afirmações sejam verdadeiras:

1. $\sum a_n$ é uma série convergente,
2. $\left\{b_n\right\}$ é uma sequência monotônica, e
3. $\left\{b_n\right\}$ é limitado.

Então $\sum a_n{b}_n$ também é convergente.

Teste da série alternada

Esse teste também é conhecido como o critério de Leibniz.

Suponha que os seguintes postulados:

1. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$ ,
2. para cada n, $a_{n+1}\le a_n$

Então $\sum _{n=k}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n$ e $\sum _{n=k}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}{a}_n$ são séries convergentes.

Notas

• Para alguns tipos específicos de séries, existem testes de convergência mais especializados e adequados, como por exemplo, para as séries de Fourier, existe o teste de Dini .

Exemplos

Considere a série

$(*)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{\alpha }}.$

O teste de condensação de Cauchy implica que (*) é finitamente convergente se

$(**)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^n{\left(\frac{1}{2^n}\right)}^{\alpha }$

é finitamente convergente. Uma vez que

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^n{\left(\frac{1}{2^n}\right)}^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{(1-\alpha )n}$

(**) é uma série geométrica com razão $2^{(1-\alpha )}$ . (**) é finitamente convergente se sua proporção for menor que um (a saber $\alpha >1$ ) Assim, (*) é finitamente convergente se e somente se $\alpha >1$ .

Convergência de produtos

Embora a maioria dos testes lide com a convergência de séries infinitas, eles também podem ser usados para mostrar a convergência ou divergência de produtos infinitos. Isso pode ser alcançado usando o seguinte teorema: Considere ${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ como uma sequência de números positivos. Então o produto infinito $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+a_n)$ converge se e somente se a série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converge. Da mesma forma, se $0<a_n<1$ é válida então $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-a_n)$ aproxima-se de um limite diferente de zero se e somente se a série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converge.

Isso pode ser provado tomando o logaritmo do produto e usando o teste de comparação no limite.

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Leitura adicional

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