Integral de Fresnel

S(x) and C(x) O máximo de C(x) é cerca de 0.977451424. Se πt²/2 fosse usado em vez de t², a imagem estaria escalada verticalmente e horizontalmente (ver abaixo).

Integrais de Fresnel, S(x) e C(x), são duas funções transcendentais, cujo nome advém de Augustin-Jean Fresnel, que são usadas em óptica. Advieram da descrição do fenômeno de difração de Fresnel em campos próximos (sugerido do inglês, near field) e são definidos pelas seguintes representações de integral:

$S(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin (t^2)dt,C(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos (t^2)dt.$

A simultânea equação paramétrica de S(x) e C(x) é a Espiral de Cornu (também conhecida como clotóide e como espiral de Euler).

Definição

Os integrais de Fresnel admitem a seguinte série de potências que convergem para todo o x:

Integrais de Fresnel normalizados, S(x) e C(x). Nestas curvas o argumento da função trignométrica é πt²/2, por oposição a t² como acima.

$S(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin (t^2)dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}$

$C(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos (t^2)dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}$

Alguns autores, incluindo Handbook of Mathematical Functions, (eqs 7.3.1 – 7.3.2) usam $\frac{\pi }{2}{t}^2$ para o argumento dos integrais definindo S(x) e C(x). Para conseguir estas funções, multiplicam os integrais acima por $\sqrt{\frac{2}{\pi }}$ e multiplicam o argumento x por $(\frac{\pi }{2}{)}^{1/2}$.

Espiral de Cornu

A espiral de Cornu (x, y) = (C(t), S(t)). A espiral converge do centro dos buracos na imagem à medida que t tende para o infinito, positivo ou negativo.

A espiral de Euler, ou Cornu, ou clotóide, é a curva gerada pela equação paramétrica de S(t) por oposição a C(t). A esperial de Cornu foi criada por Marie Alfred Cornu como um nomograma para computação de difrações em ciência e engenharia.

Pela definição dos integrais de Fresnel, os infinitésimais dx e dy são:

$dx=C^{\prime }(t)dt=\cos (t^2)dt$

$dy=S^{\prime }(t)dt=\sin (t^2)dt$

Logo o comprimento da esprial medido da origem pode ser expresso como:

$L=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}=\underset{0}{\overset{t}{\int }}dt=t$

Isto é, o parâmetro Predefinição:Math é o comprimento da curva medido da origem (0,0) e a espiral de Cornu tem comprimento infinito. O vector Predefinição:Math, também chamado vector tangente unitário, ao longo da espiral dá θ = Predefinição:Math. Visto t ser o comprimento da curva, a curvatura $\kappa$ pode ser expressa como:

$\kappa =\frac{1}{R}=\frac{d\theta }{dt}=2t$

E o rácio de modificação da curvatura com respeito ao comprimento da curva é:

$\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=2$

Uma espiral de Cornu tem uma propriedade em que a curvatura é, em qualquer ponto, proporcional à distância ao longo da espiral, medida desde a origem. Esta propriedade faz com que seja útil no cálculo da curvatura em engenharia de autoestradas ou caminhos de ferro.

Se um veículo segue a espiral a uma velocidade, o parâmetro Predefinição:Math nas derivações acima também representa o tempo. Isto é o veículo seguindo a espiral em velocidade constante vai ter um valor constante de aceleração angular.

Secções das espirais de Euler são vulgarmente usadas na forma de ciclos de Montanha-russa para fazer o que é conhecido como ciclos verticais (em que os utilizadores são postos de cabeça para baixo na sua viagem após uma subida, seguido de uma descida).

Propriedades

• C(x) e S(x) são funções ímpares de x.
• usando a série de potências acima, os integrais de Fresnel podem ser estendidos ao domínios dos números complexos, e tornam-se funções analíticas de uma variável complexa. Os integrais de Fresnel podem ser expresso como Função erro como podemos ver:

$S(x)=\frac{\sqrt{\pi }}{4}(\sqrt{i}\mathrm{erf}(\sqrt{i}x)+\sqrt{-i}\mathrm{erf}(\sqrt{-i}x))$

$C(x)=\frac{\sqrt{\pi }}{4}(\sqrt{-i}\mathrm{erf}(\sqrt{i}x)+\sqrt{i}\mathrm{erf}(\sqrt{-i}x)).$

• C e S são funções inteiras.
• Os integrais definindo C(x) e S(x) não podem ser avaliado em numa expressão fechada em termo de funções elementares, excepto em casos especiais. Os limites desta funções à medida que x se aproxima do infinito são conhecidos:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos t^{2}dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin t^{2}dt=\frac{\sqrt{2\pi }}{4}=\sqrt{\frac{\pi }{8}}.$

Avaliação

O contorno do setor usado para calcular os limites das integrais de Fresnel

Os limites de C e S à medida que o argumento vai para o infinito podem ser encontrados por métodos de Análise complexa. Isto usa o integral de contorno (sugerido do inglês contour integral da função

$e^{-\frac{1}{2}{t}^2}$

à volta da fronteira da região em forma do setor circular no plano complexo criada pelo positivo eixo x, meia linha de y = x, x ≥ 0, e o círculo de raio R centrado na origem.

Como R vai para infinito, o integral ao longo do arco circular tende para 0, o integral ao longo do eixo real tende para o integral gaussiano

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{1}{2}{t}^2}dt=\sqrt{\frac{\pi }{2}},$

depois de algumas transformações de rotina, o integral ao longo do bi-sector do primeiro quadrante pode ser relacionado com o limite dos integrais de Fresnel.

Generalização

A integral $\int x^m\exp (i{x}^n)dx=\int \sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{i^l{x}^{m+nl}}{l!}dx=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{i^l}{(m+nl+1)}\frac{x^{m+nl+1}}{l!}$

é uma função hipergeométrica confluente (sugerido do inglês, confluent hypergeometric function) e também uma função de gamma incompleta (sugerido do inglês, incomplete Gamma function).

$\int x^m\exp (i{x}^n)dx=\frac{x^{m+1}}{m+1}{}_1{F}_1(\begin{array}{c}\frac{m+1}{n}\\ 1+\frac{m+1}{n}\end{array}\mid i{x}^n)=\frac{1}{n}{i}^{(m+1)/n}\gamma (\frac{m+1}{n},-i{x}^n),$

que reduz o integral de Fresnel se as suas partes reais ou imaginárias são retiradas:

$\int x^m\sin (x^n)dx=\frac{x^{m+n+1}}{m+n+1}{}_1{F}_2(\begin{array}{c}\frac{1}{2}+\frac{m+1}{2n}\\ \frac{3}{2}+\frac{m+1}{2n},\frac{3}{2}\end{array}\mid -\frac{x^{2n}}{4})$.

O termo principal da expansão assintótica é

${}_1{F}_1(\begin{array}{c}\frac{m+1}{n}\\ 1+\frac{m+1}{n}\end{array}\mid i{x}^n)\sim \frac{m+1}{n}\mathrm{\Gamma }(\frac{m+1}{n})e^{i\pi (m+1)/(2n)}{x}^{-m+1}$,

logo $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^m\exp (i{x}^n)dx=\frac{1}{n}\mathrm{\Gamma }(\frac{m+1}{n})e^{i\pi (m+1)/(2n)}$,

e em particular $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin (x^a)dx=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{a}\right)\sin (\frac{\pi }{2a})}{a}$

com o lado esquerdo a convergir para a>1 e o lado direito sendo a sua extensão analítica ao plano inteiro menos onde se encontram os polos de $\mathrm{\Gamma }(a^{-1})$.

A transformação de Kummer da função hipergeométrica confluente é

$\int x^m\exp (i{x}^n)dx=V_{n,m}(x)e^{i{x}^n}$

com $V_{n,m}:=\frac{x^{m+1}}{m+1}{}_1{F}_1(\begin{array}{c}1\\ 1+\frac{m+1}{n}\end{array}\mid -i{x}^n)$.

Ver também

• Augustin-Jean Fresnel
• Espiral de Cornu

Referências

• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citar periódico
• Predefinição:AS ref
• Predefinição:Citar periódico
• Predefinição:Citar periódico
• Predefinição:Citation
• Predefinição:Citar web (Uses πt²/2 instead of t².)
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• Predefinição:Citar arXiv

Ligações externas

• Predefinição:Citar web