Fórmula Euler–Maclaurin

Em matemática, a fórmula de Euler-Maclaurin é uma fórmula para a diferença entre uma integral e uma soma intimamente relacionada. Pode ser usado para aproximar integrais por somas finitas ou, inversamente, para avaliar somas finitas e séries infinitas usando integrais e a máquina de cálculo. Por exemplo, muitas expansões assintóticas são derivadas da fórmula, e a fórmula de Faulhaber para a soma de poderes é uma consequência imediata.

A fórmula foi descoberta independentemente por Leonhard Euler e Colin Maclaurin por volta de 1735. Euler precisava dele para calcular séries infinitas de convergência lenta, enquanto Maclaurin o usava para calcular integrais. Posteriormente, foi generalizado para a fórmula de Darboux .

A fórmula

E se $m$ e $n$ são números naturais e $f(x)$ é uma função contínua de valor real ou complexo para números reais $x$ no intervalo $[m,n]$, então o integral

$I=\underset{m}{\overset{n}{\int }}f(x)dx$

pode ser aproximado pela soma (ou vice-versa)

$S=f(m+1)+\cdots +f(n-1)+f(n)$

(ver método do retângulo ). A fórmula de Euler-Maclaurin fornece expressões para a diferença entre a soma e a integral em termos das derivadas superiores $f^{(k)}(x)$ avaliado nos pontos finais do intervalo, ou seja, quando $x=m$ e $x=n$ .

Explicitamente, por $p$ um número inteiro positivo e uma função $f(x)$ isso é $p$ tempos continuamente diferenciáveis no intervalo $[m,n]$, temos

$S-I=\sum _{k=1}^p\frac{B_k}{k!}(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(m))+R_p,$

Onde $B_k$ é o $k$ o número Bernoulli (com $B_1=1/2$ ) e $R_p$ é um termo de erro que depende de $n$, $m$, $p$, e $f$ e geralmente é pequeno para valores adequados de $p$ .

A fórmula é frequentemente escrita com o subscrito assumindo apenas valores pares, já que os números ímpares de Bernoulli são zero, exceto $B_1$ . Nesse caso, temos

$\sum _{i=m}^{n}f(i)=\underset{m}{\overset{n}{\int }}f(x)dx+\frac{f(n)+f(m)}{2}+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }\frac{B_{2k}}{(2k)!}(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m))+R_p,$

ou alternativamente

$\sum _{i=m+1}^{n}f(i)=\underset{m}{\overset{n}{\int }}f(x)dx+\frac{f(n)-f(m)}{2}+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }\frac{B_{2k}}{(2k)!}(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m))+R_p.$

O termo restante

O termo restante surge porque a integral geralmente não é exatamente igual à soma. A fórmula pode ser derivada aplicando integração repetida por partes a intervalos sucessivos $[r,r+1]$ para $r=m,m+1,\dots ,n-1$ . Os termos de contorno nessas integrações levam aos termos principais da fórmula, e as integrais restantes formam o termo restante.

O termo restante tem uma expressão exata em termos das funções de Bernoulli periodizadas $P_k(x)$ . Os polinômios de Bernoulli podem ser definidos recursivamente por $B_0(x)=1$ e para $k\ge 1$ ,

$\begin{array}{cc}{B_k}^{\prime }(x)& =k{B}_{k-1}(x),\\ \underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_k(x)dx& =0.\end{array}$

As funções Bernoulli periodizadas são definidas como

$P_k(x)=B_k(x-\lfloor x\rfloor ),$

Onde $\lfloor x\rfloor$ denota o maior número inteiro menor ou igual a $x$ (de modo a $x-\lfloor x\rfloor$ sempre fica no intervalo $[0,1)$ )

Com esta notação, o termo restante $R_p$ é igual a

$R_p=(-1{)}^{p+1}\underset{m}{\overset{n}{\int }}{f}^{(p)}(x)\frac{P_p(x)}{p!}dx.$

Quando $k>0$, pode-se mostrar que

$|B_k(x)|\le \frac{2\cdot k!}{(2\pi {)}^k}\zeta (k),$

Onde $\zeta$ denota a função zeta de Riemann ; uma abordagem para provar essa desigualdade é obter a série de Fourier para os polinômios $B_k(x)$ . O limite é alcançado por igual $k$ quando $x$ é zero. O termo $\zeta (k)$ pode ser omitido por estranho $k$ mas a prova neste caso é mais complexa (ver Lehmer). Usando essa desigualdade, o tamanho do termo restante pode ser estimado como

$|R_p|\le \frac{2\zeta (p)}{(2\pi {)}^p}\underset{m}{\overset{n}{\int }}|f^{(p)}(x)|dx.$

Casos de baixa ordem

Os números Bernoulli de $B_1$ para $B_7$ estão $\frac{1}{2},\frac{1}{6},0,-\frac{1}{30},0,\frac{1}{42},0.$ Portanto, os casos de baixa ordem da fórmula de Euler-Maclaurin são:

$\begin{array}{cc}\sum _{i=m}^{n}f(i)-\underset{m}{\overset{n}{\int }}f(x)dx& =\frac{f(m)+f(n)}{2}+\underset{m}{\overset{n}{\int }}{f}^{\prime }(x)P_1(x)dx\\ & =\frac{f(m)+f(n)}{2}+\frac{1}{6}\frac{f^{\prime }(n)-f^{\prime }(m)}{2!}-\underset{m}{\overset{n}{\int }}{f}^{″}(x)\frac{P_2(x)}{2!}dx\\ & =\frac{f(m)+f(n)}{2}+\frac{1}{6}\frac{f^{\prime }(n)-f^{\prime }(m)}{2!}+\underset{m}{\overset{n}{\int }}{f}^{‴}(x)\frac{P_3(x)}{3!}dx\\ & =\frac{f(m)+f(n)}{2}+\frac{1}{6}\frac{f^{\prime }(n)-f^{\prime }(m)}{2!}-\frac{1}{30}\frac{f^{‴}(n)-f^{‴}(m)}{4!}-\underset{m}{\overset{n}{\int }}{f}^{(4)}(x)\frac{P_4(x)}{4!}dx\\ & =\frac{f(m)+f(n)}{2}+\frac{1}{6}\frac{f^{\prime }(n)-f^{\prime }(m)}{2!}-\frac{1}{30}\frac{f^{‴}(n)-f^{‴}(m)}{4!}+\underset{m}{\overset{n}{\int }}{f}^{(5)}(x)\frac{P_5(x)}{5!}dx\\ & =\frac{f(m)+f(n)}{2}+\frac{1}{6}\frac{f^{\prime }(n)-f^{\prime }(m)}{2!}-\frac{1}{30}\frac{f^{‴}(n)-f^{‴}(m)}{4!}+\frac{1}{42}\frac{f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}-\underset{m}{\overset{n}{\int }}{f}^{(6)}(x)\frac{P_6(x)}{6!}dx\\ & =\frac{f(m)+f(n)}{2}+\frac{1}{6}\frac{f^{\prime }(n)-f^{\prime }(m)}{2!}-\frac{1}{30}\frac{f^{‴}(n)-f^{‴}(m)}{4!}+\frac{1}{42}\frac{f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}+\underset{m}{\overset{n}{\int }}{f}^{(7)}(x)\frac{P_7(x)}{7!}dx.\end{array}$

Formulários

O problema da Basileia

O problema da Basileia é determinar a soma

$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}.$

Euler calculou essa soma com 20 casas decimais com apenas alguns termos da fórmula de Euler-Maclaurin em 1735. Isso provavelmente o convenceu de que a soma é igual ${\pi }^2/6$, o que ele provou no mesmo ano.

Soma envolvendo um polinômio

E se $f$ é um polinômio e $p$ é grande o suficiente, então o termo restante desaparece. Por exemplo, se $f(x)=x^3$, podemos escolher $p=2$ para obter, após simplificação,

$\sum _{i=0}^n{i}^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2.$

Aproximação de integrais

A fórmula fornece um meio de aproximar uma integral finita. Deixei $a<b$ ser os pontos finais do intervalo de integração. Consertar $N$, o número de pontos a serem usados na aproximação e denotam o tamanho do passo correspondente por $h=(b-a)/(N-1)$ . Conjunto $x_i=a+(i-1)h$, de modo a $x_1=a$ e $x_N=b$ . Então:

$\begin{array}{cc}I& =\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\\ & \sim h(\frac{f(x_1)}{2}+f(x_2)+\cdots +f(x_{N-1})+\frac{f(x_N)}{2})+\frac{h^2}{12}[f^{\prime }(x_1)-f^{\prime }(x_N)]-\frac{h^4}{720}[f^{‴}(x_1)-f^{‴}(x_N)]+\cdots .\end{array}$

Isso pode ser visto como uma extensão da regra do trapézio pela inclusão de termos de correção. Observe que essa expansão assintótica geralmente não é convergente; há algum $p$, dependendo de $f$ e $h$, de modo que os termos ultrapassaram o pedido $p$ aumentar rapidamente. Assim, o termo restante geralmente exige muita atenção.

A fórmula de Euler-Maclaurin também é usada para análises detalhadas de erros em quadratura numérica . Ele explica o desempenho superior da regra trapezoidal em funções periódicas suaves e é usado em certos métodos de extrapolação . A quadratura de Clenshaw-Curtis é essencialmente uma mudança de variáveis para lançar uma integral arbitrária em termos de integrais de funções periódicas onde a abordagem de Euler-Maclaurin é muito precisa (nesse caso particular, a fórmula de Euler-Maclaurin assume a forma de uma transformação discreta de cosseno ) . Essa técnica é conhecida como transformação de periodização.

Expansão assintótica de somas

No contexto da computação de expansões assintóticas de somas e séries, geralmente a forma mais útil da fórmula de Euler-Maclaurin é

$\sum _{n=a}^{b}f(n)\sim \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\frac{f(b)+f(a)}{2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)),$

Onde $a$ e $b$ são inteiros. Muitas vezes, a expansão permanece válida mesmo após tomar os limites $a\to -\mathrm{\infty }$ ou $b\to +\mathrm{\infty }$ ou ambos. Em muitos casos, a integral do lado direito pode ser avaliada na forma fechada em termos de funções elementares, embora a soma do lado esquerdo não possa. Então, todos os termos da série assintótica podem ser expressos em termos de funções elementares. Por exemplo,

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+k{)}^2}\sim \underset{=1/z}{\underbrace{\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{(z+k{)}^2}dk}}+\frac{1}{2z^2}+\sum _{t=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2t}}{z^{2t+1}}.$

Aqui, o lado esquerdo é igual a ${\psi }^{(1)}(z)$, ou seja, a função poligama de primeira ordem definida por ${\psi }^{(1)}(z)=(d/dz{)}^2(\log \mathrm{\Gamma }(z))$ ; a função gama $\mathrm{\Gamma }(z)$ é igual a $(z-1)!$ E se $z$ é um número inteiro positivo . Isso resulta em uma expansão assintótica para ${\psi }^{(1)}(z)$ . Essa expansão, por sua vez, serve como ponto de partida para uma das derivações de estimativas precisas de erro para a aproximação de Stirling da função fatorial .

Exemplos

Se Predefinição:Mvar for um número inteiro maior que 1, temos:

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^s}\approx \frac{1}{s-1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{(s-1)n^{s-1}}+\frac{1}{2n^s}+\sum _{i=1}\frac{B_{2i}}{(2i)!}[\frac{(s+2i-2)!}{(s-1)!}-\frac{(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}].$

Coletando as constantes em um valor da função zeta de Riemann, podemos escrever uma expansão assintótica:

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^s}\sim \zeta (s)-\frac{1}{(s-1)n^{s-1}}+\frac{1}{2n^s}-\sum _{i=1}\frac{B_{2i}}{(2i)!}\frac{(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}.$

Para Predefinição:Mvar igual a 2, isso simplifica para

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}\sim \zeta (2)-\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}-\sum _{i=1}\frac{B_{2i}}{n^{2i+1}},$

ou

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}\sim \frac{{\pi }^2}{6}-\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}-\frac{1}{6n^3}+\frac{1}{30n^5}-\frac{1}{42n^7}+\cdots .$

Quando Predefinição:Math, a técnica correspondente dá uma expansão assintótica para os números harmônicos :

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}\sim \gamma +\log n+\frac{1}{2n}-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{2k{n}^{2k}},$

Onde $\gamma \approx 0.5772156649015328606065$ é a constante de Euler-Mascheroni .

Provas

Derivação por indução matemática

Esboçamos o argumento dado no Apostole.

Os polinômios de Bernoulli Predefinição:Math e as funções periódicas de Bernoulli Predefinição:Math para Predefinição:Math foram introduzidos acima.

Os primeiros vários polinômios de Bernoulli são

$\begin{array}{cc}{B}_0(x)& =1,\\ B_1(x)& =x-\frac{1}{2},\\ B_2(x)& =x^2-x+\frac{1}{6},\\ B_3(x)& =x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x,\\ B_4(x)& =x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30},\\ & ⋮\end{array}$

Os valores Predefinição:Math são os números de Bernoulli Predefinição:Math . Observe que para Predefinição:Math nós temos

$B_n=B_n(0)=B_n(1),$

e para Predefinição:Math ,

$B_1=B_1(0)=-B_1(1).$

As funções Predefinição:Math concordam com os polinômios de Bernoulli no intervalo Predefinição:Math e são periódicos com período 1. Além disso, exceto quando Predefinição:Math, eles também são contínuos. Portanto,

$P_n(0)=P_n(1)=B_n(n\ne 1)$

Seja Predefinição:Math um número inteiro e considere a integral

$\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}f(x)dx=\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}udv,$

Onde

$\begin{array}{cc}u& =f(x),\\ du& =f^{\prime }(x)dx,\\ dv& =P_0(x)dx& & (\text{since }{P}_0(x)=1),\\ v& =P_1(x).\end{array}$

Integrando por partes, obtemos

$\begin{array}{cc}\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}f(x)dx& =[uv{]}_k^{k+1}-\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}vdu\\ & =[f(x)P_1(x){]}_k^{k+1}-\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}{f}^{\prime }(x)P_1(x)dx\\ & =B_1(1)f(k+1)-B_1(0)f(k)-\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}{f}^{\prime }(x)P_1(x)dx.\end{array}$

Usando $B_1(0)=-1/2$, $B_1(1)=1/2$, e somando o acima de Predefinição:Math a Predefinição:Math, obtemos

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{n}{\int }}f(x)dx& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx+\cdots +\underset{n-1}{\overset{n}{\int }}f(x)dx\\ & =\frac{f(0)}{2}+f(1)+\cdots +f(n-1)+\frac{f(n)}{2}-\underset{0}{\overset{n}{\int }}{f}^{\prime }(x)P_1(x)dx.\end{array}$

Adicionando ( f ( n ) - f (0)) / 2 para ambos os lados e reorganizando, temos

$\sum _{k=1}^{n}f(k)=\underset{0}{\overset{n}{\int }}f(x)dx+\frac{f(n)-f(0)}{2}+\underset{0}{\overset{n}{\int }}{f}^{\prime }(x)P_1(x)dx.$

Este é o caso Predefinição:Math da fórmula de soma. Para continuar a indução, aplicamos integração por partes ao termo de erro:

$\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}{f}^{\prime }(x)P_1(x)dx=\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}udv,$

Onde

$\begin{array}{cc}u& =f^{\prime }(x),\\ du& =f^{″}(x)dx,\\ dv& =P_1(x)dx,\\ v& =\frac{1}{2}{P}_2(x).\end{array}$

O resultado da integração por partes é

$\begin{array}{cc}[uv{]}_k^{k+1}-\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}vdu& ={\left[\frac{f^{\prime }(x)P_2(x)}{2}\right]}_k^{k+1}-\frac{1}{2}\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}{f}^{″}(x)P_2(x)dx\\ & =\frac{B_2}{2}(f^{\prime }(k+1)-f^{\prime }(k))-\frac{1}{2}\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}{f}^{″}(x)P_2(x)dx.\end{array}$

S

$\sum _{k=1}^{n}f(k)=\underset{0}{\overset{n}{\int }}f(x)dx+\frac{f(n)+f(0)}{2}+\frac{B_2}{2}(f^{\prime }(n)-f^{\prime }(0))-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{n}{\int }}{f}^{″}(x)P_2(x)dx.$

Este processo pode ser iterado. Desta forma, obtemos uma prova da fórmula de soma de Euler-Maclaurin que pode ser formalizada por indução matemática, na qual a etapa de indução depende da integração por partes e de identidades para funções de Bernoulli periódicas.

Veja também

• Soma de Cesàro
• Soma de Euler
• Fórmula da quadratura de Gauss-Kronrod
• Fórmula de Darboux
• Soma de Euler-Boole

Referências

• Predefinição:Citar livro, pp. 16, 806, 886
• Predefinição:MathWorld
• Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal Introduction on Bernoulli's numbers, (2002)
• Predefinição:Citar livro