Série de Taylor

Predefinição:Cálculo Em matemática, uma série de Taylor é a série de funções da forma:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-a{)}^n\text{sendo}{a}_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$,

onde $f(x)$ é uma função analítica dada. Neste caso, a série acima é dita ser a série de Taylor de $f(x)$ em torno do ponto $x=a$. Associadamente, o polinômio de Taylor de ordem $n$ em torno de $x=a$ de uma dada função $n$-vezes diferenciável neste ponto é dado por:

$p(x)=f(a)+f^{\prime }(a)\frac{{(x-a)}^1}{1!}+f^{″}(a)\frac{{(x-a)}^2}{2!}+...+f^{(n)}(a)\frac{{(x-a)}^n}{n!}$

No caso particular de $a=0$, série acima também é chamada de Série de Maclaurin ou, quando for o caso, de polinômio de Maclaurin.

Tais séries recebem seu nome em homenagem a Brook Taylor que as estudou no trabalho Methodus incrementorum directa et inversa em 1715. Condorcet atribuía estas séries a Taylor e d'Alembert. O nome série de Taylor só começou a ser usado em 1786, por l'Huillier.

Convergência

Toda série de Taylor possui um raio de convergência $R$ com a propriedade que a série converge uniformemente em cada bola (circunferência) $|x-a|\le r<R$.

A fórmula de Hadamard fornece o valor deste raio de convergência:

$R^{-1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|a_n{|}^{1/n}$

O fato de a série de Taylor convergir não garante que ela convergirá para o valor da função f(x); o exemplo clássico desta patologia é a função definida por:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\exp (-1/x)& \text{se }x>0,\\ 0& \text{se }x\le 0,\end{array}$

cuja série de Taylor é :

$f(x)=0+0x+0x^2+\dots$

Série de Taylor associada a uma função

Função seno de x e aproximações de Taylor com polinômios de grau 1, 3, 5, 7, 9, 11 e 13.

A série de Taylor associada a uma função $f$ infinitamente diferenciável (real ou complexa) definida em um intervalo aberto ]a − r, a + r[ é a série de potências dada por

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n.$

Onde, n! é o fatorial de n e f ⁽ⁿ⁾(a) denota a n-ésima derivada de f no ponto a.

Com essa ferramenta, podem ser moldadas funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas em polinômios.

Lista de série de Taylor de algumas funções comuns ao redor de $a=0$ (Série de Maclaurin)

Função exponencial e logaritmo natural:

${\mathrm{e}}^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}\text{ para todo }x$

$\ln (1+x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+1}{x}^{n+1}\text{ para }\left|x\right|<1$

Série geométrica:

$\frac{x^m}{1-x}=\sum _{n=m}^{\mathrm{\infty }}{x}^n\text{ para }\left|x\right|<1$

Teorema binomial:

$(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\alpha }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n\text{ para todo }\left|x\right|<1\text{ e todo complexo }\alpha$

Funções trigonométricas:

$\cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}\text{ para todo }x$

$\sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}\text{ para todo }x$

$\tan x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n)!}{x}^{2n-1}=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+..\text{ para }\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$

onde Predefinição:Math são números de Bernoulli.

$\sec x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{E}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n}\text{ para }\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$

onde Predefinição:Math são números de Euler.

$\arcsin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}\text{ para }\left|x\right|<1$

$\arctan x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}\text{ para }\left|x\right|<1$

Funções hiperbólicas:

$\sinh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}\text{ para todo }x$

$\cosh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n)!}{x}^{2n}\text{ para todo }x$

$\tanh \left(x\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}{4}^n(4^n-1)}{(2n)!}{x}^{2n-1}\text{ para }\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}\text{ para }\left|x\right|<1$

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n+1}{x}^{2n+1}\text{ para }\left|x\right|<1$

Função W de Lambert:

$W_0(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-n{)}^{n-1}}{n!}{x}^n\text{ para }\left|x\right|<\frac{1}{\mathrm{e}}$

Série de Taylor em várias variáveis

A série de Taylor pode também ser definida para funções de ${ℝ}^n\to ℝ$.

Nesse caso, tem-se que a série de Taylor de $f$ em torno do ponto $X_0=(x_1^0,\cdots ,x_n^0)$ é dada por:

$f(x_1,\cdots ,x_n)=\sum _{k\ge 0}\frac{1}{k!}{(\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(X_0)(x_i-x_i^0))}^k,$

onde ${(\frac{\partial f}{\partial x_i}(X_0))}^k$ denota $\frac{{\partial }^{k}f}{\partial x_i^k}(X_0).$

Ou seja, tem-se:

${(\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(X_0)(x_i-x_i^0))}^k=\sum _{{\alpha }_i\in \mathbb{N},\sum _{i=1}^n{\alpha }_i=k}(\frac{k!}{{\alpha }_1!\cdots {\alpha }_n!}\cdot \frac{{\partial }^{k}f}{\partial x_1^{{\alpha }_1}\cdots \partial x_n^{{\alpha }_n}}(X_0)\cdot (x_1-x_1^0{)}^{{\alpha }_1}\cdots (x_n-x_n^0{)}^{{\alpha }_n}).$

No caso particular $n=2$, $X_0=(x_0,y_0):$

$f(x,y)=\sum _{k\ge 0}\frac{1}{k!}\sum _{i=0}^k\frac{k!}{i!(k-i)!}\cdot \frac{{\partial }^{i}f}{\partial x^i}(X_0)\cdot \frac{{\partial }^{k-i}f}{\partial y^{k-i}}(X_0)\cdot (x-x_0{)}^i\cdot (y-y_0{)}^{k-i}.$

Séries de Maclaurin

As Séries de Maclaurin são um caso especial das Séries de Taylor onde $a=0$:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)(x-a{)}^n}{n!}$

Dessa forma, a série pode ser expandida como:

$f(x)=f(0)(x-0{)}^0+\frac{f^{\prime }(0)(x-0{)}^1}{1!}+\frac{f^{″}(0)(x-0{)}^2}{2!}+\frac{f^{‴}(0)(x-0{)}^3}{3!}+...$

Logo:

$f(x)=f(0)+\frac{f^{\prime }(0)x^1}{1!}+\frac{f^{″}(0)x^2}{2!}+\frac{f^{‴}(0)x^3}{3!}+...$

Escrevendo-se a Série da Maclaurin de forma geral:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!}$

Série de Maclaurin para o $sen(x)$

Para o $cos(x)$, tem-se que:

$f(x)=sen(x)\Rightarrow f(0)=sen(0)=0$

Derivadas

$f^{\prime }(x)=cos(x)\Rightarrow f^{\prime }(0)=cos(0)=1$

$f^{″}(x)=-sen(x)\Rightarrow f^{″}(0)=-sen(0)=-0=0$

$f^{‴}(x)=-cos(x)\Rightarrow f^{‴}(0)=-cos(0)=-1$

$f^{⁗}(x)=sen(x)\Rightarrow f^{⁗}(0)=sen(0)=0$

$f^{\prime \prime \prime \prime \prime }(x)=cos(x)\Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime \prime }(0)=cos(0)=1$

$f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime }(x)=-sen(x)\Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime }(0)=-sen(0)=-0=0$

$f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime }(x)=-cos(x)\Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime }(0)=-cos(0)=-1$

$f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime }(x)=sen(x)\Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime }(0)=sen(0)=0$

$f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime }(x)=cos(x)\Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime }(0)=cos(0)=1$

Substituindo-se as derivadas na série, tem-se que:

$f(x)=f(0)+\frac{f^{\prime }(0)x^1}{1!}+\frac{f^{″}(0)x^2}{2!}+\frac{f^{‴}(0)x^3}{3!}+\frac{f^{⁗}(0)x^4}{4!}+\frac{f^{\prime \prime \prime \prime \prime }(0)x^5}{5!}+\frac{f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime }(0)x^6}{6!}+\frac{f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime }(0)x^7}{7!}+\frac{f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime }(0)x^8}{8!}+\frac{f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime }(0)x^9}{9!}$

Observa-se, que as derivadas segunda, quarta, sexta e oitava. Logo, os termos da série com $x$ elevado a alguma potência par não precisam ser escritos, já que serão iguais a zero. Desse modo, a série assume a forma:

$f(x)\cong \left(\frac{1x^1}{1!}\right)+\left(\frac{-1x^3}{3!}\right)+\left(\frac{1x^5}{5!}\right)+\left(\frac{-1x^7}{7!}\right)+\left(\frac{1x^9}{9!}\right)$

Realizando-se a multiplicação e simplificando os expoentes:

$f(x)\cong x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}$

Dessa forma, a série pode ser escrita como:

$f(x)=sen(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Série de Maclaurin para o $cos(x)$

Para o $cos(x)$, tem-se que:

$f(x)=cos(x)\Rightarrow f(0)=cos(0)=1$

Derivadas

$f^{\prime }(x)=-sen(x)\Rightarrow f^{\prime }(0)=-sen(0)=-0=0$

$f^{″}(x)=-cos(x)\Rightarrow f^{″}(0)=-cos(0)=-1$

$f^{‴}(x)=sen(x)\Rightarrow f^{‴}(0)=sen(0)=0$

$f^{⁗}(x)=cos(x)\Rightarrow f^{⁗}(0)=cos(0)=1$

$f^{\prime \prime \prime \prime \prime }(x)=-sen(x)\Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime \prime }(0)=-sen(0)=-0=0$

$f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime }(x)=-cos(x)\Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime }(0)=-cos(0)=-1$

$f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime }(x)=sen(x)\Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime }(0)=sen(0)=0$

$f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime }(x)=cos(x)\Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime }(0)=cos(0)=1$

$f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime }(x)=-sen(x)\Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime }(0)=-sen(0)=-0=0$

$f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime }(x)=-cos(x)\Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime }(0)=-cos(0)=-1$

$f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime }(x)=sen(x)\Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime }(0)=sen(0)=0$

Observa-se, que as derivadas primeira, terceira, quinta, sétima e nona são iguais à zero. Logo, os termos da série com $x$ elevado a alguma potência ímpar não precisam ser escritos, já que serão iguais a zero. Desse modo, a série assume a forma:

$f(x)\cong \frac{f(0)x^0}{0!}+\frac{f^{″}(0)x^2}{2!}+\frac{f^{⁗}(0)x^4}{4!}+\frac{f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime }(0)x^6}{6!}+\frac{f^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime }(0)x^8}{8!}$

Substituindo-se os valores das derivadas e da $f(0)$ na série obtem-se:

$f(x)\cong \frac{1x^0}{0!}+\frac{(-1)x^2}{2!}+\frac{1x^4}{4!}+\frac{(-1)x^6}{6!}+\frac{1x^8}{8!}$

Realizando-se a multiplicação e simplificando o 1° termo:

$f(x)\cong 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}$

Ou ainda:

$f(x)=\cos (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n.x^{2n}}{(2n)!}$

Ver também

• Alpha
• Brook Taylor
• Série de Laurent
• Polinómio de Newton
• Handbook of Mathematical Functions

Bibliografia

1. Heinrich Auchter. Brook Taylor, der mathematiker und philosoph; beiträge zur wissenschaftsgeschichte der zeit des Newton-Leibniz-streites,. Würzburg, K. Triltsch, 1937. Predefinição:OCLC Predefinição:De
2. Edmundo Capelas de Oliveira, Funções Especiais com Aplicações, Editora Livraria da Fisica ISBN 8-588-32542-X
3. Steven C. Chapra, Métodos Numéricos Aplicados com MATLAB® para Engenheiros e Cientistas - 3.ed. McGraw Hill Brasil, 2013 ISBN 8-580-55177-3

Ligações externas

• Exemplo Funções - Série de Taylor