Conjugado transposto

Na matemática, o “conjugado transposto”, ou, “transposto Hermitiano” de uma matriz $m\times n$ complexa $𝐀$, é uma matriz $n\times m$ obtida pela transposta de $𝐀$ e tomando o [[conjugado complexo] de cada elemento da matriz. É tipicamente denotado por ${𝐀}^{\mathrm{H}}$,ou ${𝐀}^{*}$, ou ${𝐀}^{\prime }$, ou então (tipicamente na Física) ${𝐀}^{†}$.

Para as matrizes reais, o conjugado transposto é simplesmente o transposto: ${𝐀}^{\mathrm{H}}={𝐀}^{\mathrm{T}}$, afinal o conjugado complexo de um número real é o próprio número.

Definição

O conjugado complexo de uma matriz $𝐀$ $m\times n$ é formalmente definido como

onde o subescrito $ij$ denota o $(i,j)$-ésimo elemento de $1\le i\le n$ and $1\le j\le m$, e a barra superior denota o escalar do complexo conjugado. Sem perda de generalidade, essa definição também pode ser escrita como

${𝐀}^{\mathrm{H}}={\left(\overline{𝐀}\right)}^{\mathrm{T}}=\overline{{𝐀}^{\mathrm{T}}}$

onde ${𝐀}^{\mathrm{T}}$ denota a transposta e $\overline{𝐀}$ denota a matriz com elementos conjugados complexos.

Outros nomes associados ao transposto conjugado de uma matriz são “conjugado Hermitiano”, “matriz adjunta” e “transjugado”.

O transposto conjugado de uma matriz $𝐀$ pode ser denotado por qualquer um destes símbolos:

• ${𝐀}^{*}$, tipicamente usado na álgebra linear
• ${𝐀}^{\mathrm{H}}$, também tipicamente usado na álgebra linear
• ${𝐀}^{†}$ (em geral pronunciado como A dagger), tipicamente usado no contexto da mecânica quântica
• ${𝐀}^{+}$, embora este símbolo seja mais comumente usado para a inversa de Moore-Penrose.

Em certos contextos, ${𝐀}^{*}$ pode denotar a matriz apenas com elementos conjugados complexos, sem a transposição.

Exemplo

Suponha que você deseje calcular a conjugada transposta de seguinte matriz $𝐀$.

$𝐀=\left[\begin{array}{ccc}1& -2-i& 5\\ 1+i& i& 4-2i\end{array}\right]$

Primeiro, realiza-se a transposição da matriz:

${𝐀}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}1& 1+i\\ -2-i& i\\ 5& 4-2i\end{array}\right]$

Em seguida, conjuga-se cada elemento da matriz:

${𝐀}^{\mathrm{H}}=\left[\begin{array}{cc}1& 1-i\\ -2+i& -i\\ 5& 4+2i\end{array}\right]$

Observações básicas

Uma matriz quadrada (ou seja, necessariamente $n\times n$) $𝐀$ com elementos $a_{ij}$ é dita

• Hermitiana ou autoadjunta se $𝐀={𝐀}^{\mathrm{H}}$; i.e., $a_{ij}=\overline{a_{ji}}$.
• Anti-hermitiana se $𝐀=-{𝐀}^{\mathrm{H}}$; i.e., $a_{ij}=-\overline{a_{ji}}$.
• Normal se ${𝐀}^{\mathrm{H}}𝐀=𝐀{𝐀}^{\mathrm{H}}$.
• Unitária se ${𝐀}^{\mathrm{H}}={𝐀}^{-1}$, equivalentemente$𝐀{𝐀}^{\mathrm{H}}=𝑰$, equivalentemente ${𝐀}^{\mathrm{H}}𝐀=𝑰$.

Mesmo que $𝐀$ não seja quadrada, ambas as matrizes ${𝐀}^{\mathrm{H}}𝐀$ e $𝐀{𝐀}^{\mathrm{H}}$ são Hermitianas e semi-definidas positivas.

A matriz conjugada transposta “adjunta” ${𝐀}^{\mathrm{H}}$ não deve ser confundida com a matriz adjunta $\mathrm{adj}(𝐀)$, que é também chamada frequentemente apenas de “adjunta”.

O transposto conjugado de uma matriz $𝐀$ com elementos reais reduz-se para a transposta de $𝐀$, já que o conjugado de um número real é o próprio número.

Motivação

A conjugada transposta pode ser motivada ao notar que números complexos podem ser representados na forma matricial por uma matriz real $2\times 2$, e, portanto, obedecem as propriedades matriciais de soma e multiplicação.

$a+ib\equiv \left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right].$

Ou seja, representando cada número complexo $z$ pela matriz real $2\times 2$ da transformação linear no plano complexo (visto como o espaço vetor “real” ${ℝ}^2$), afetado pela multiplicação complexa de “$z$” em $ℂ$.

Dessa forma, uma matriz de números complexos $m\times n$ pode ser bem representada por uma matriz de números reais $2m\times 2n$. A conjugada transposta, portanto, surge naturalmente como o resultado de transpor tal matriz—quando interpretado novamente como uma matriz $n\times m$ composta por números complexos.

Propriedades da conjugada transposta

• $(𝐀+𝑩{)}^{\mathrm{H}}={𝐀}^{\mathrm{H}}+{𝑩}^{\mathrm{H}}$ para qualquer duas matrizes $𝐀$ e $𝑩$ de mesmas dimensões.
• $(z𝐀{)}^{\mathrm{H}}=\bar{z}{𝐀}^{\mathrm{H}}$ para qualquer número complexo $z$ e qualquer matriz $𝐀$ $m\times n$.
• $(𝐀𝑩{)}^{\mathrm{H}}={𝑩}^{\mathrm{H}}{𝐀}^{\mathrm{H}}$ para qualquer matriz $𝐀$ $m\times n$ e qualquer matriz $𝑩$ $n\times p$. Perceba que a ordem dos fatores é revertida.
• ${\left({𝐀}^{\mathrm{H}}\right)}^{\mathrm{H}}=𝐀$ para qualquer matriz $𝐀$ $m\times n$, ou seja, a transposição Hermitiana é uma involução.
• Se $𝐀$ é uma matriz quadrada, então $\det \left({𝐀}^{\mathrm{H}}\right)=\overline{\det \left(𝐀\right)}$ onde $\det (A)$ representa o determinante de $𝐀$ .
• Se $𝐀$ é uma matriz quadrada, então $\mathrm{tr}\left({𝐀}^{\mathrm{H}}\right)=\overline{\mathrm{tr}(𝐀)}$ onde $\mathrm{tr}(A)$ representa o traço de $𝐀$.
• $𝐀$ é inversível se e somente se ${𝐀}^{\mathrm{H}}$ é inversível, e, neste caso ${\left({𝐀}^{\mathrm{H}}\right)}^{-1}={\left({𝐀}^{-1}\right)}^{\mathrm{H}}$.
• Os autovalores de ${𝐀}^{\mathrm{H}}$ são os conjugados complexos dos autovalores de $𝐀$.
• ${⟨𝐀x,y⟩}_m={⟨x,{𝐀}^{\mathrm{H}}y⟩}_n$ para qualquer matriz $𝐀$ $m\times n$, qualquer vetor em $x\in {ℂ}^n$ e qualquer vetor $y\in {ℂ}^m$. Aqui, $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_m$ representa o produto interno complexo em ${ℂ}^m$, e similarmente para $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_n$.

Generalizações

A última propriedade dada mostra que se tratarmos $𝐀$ como a transformação linear do espaço de Hilbert ${ℂ}^n$ para ${ℂ}^m,$ então a matriz ${𝐀}^{\mathrm{H}}$ corresponde ao Hermitiano adjunto de $𝐀$. O conceito de operadores adjuntos entre espaços de Hilbert pode, dessa forma, ser visto como uma generalização dos conjugados transpostos de matrizes em relação à uma base ortonormal. Outra generalização também é possível: suponha que $A$ seja um mapa linear the um espaço vetorial complexo $V$ para um outro, $W$, então a transformação linear do complexo conjugado assim como a transformação linear transposta são definidas, e portanto é possível afirmar que o conjugado transposto de $A$ é o conjugado complexo da transposta de $A$. Ou seja, ele transforma o conjugado dual de $W$ ao conjugado dual de $V$

Ver também

• Produto escalar
• Hermitiano adjunto
• Matriz adjunta

Ligações externas

• Predefinição:Springer