Função exponencial natural

A função exponencial natural $y=e^x$

A função exponencial natural, denotada e^x ou exp(x) é a função exponencial cuja base é o número de Euler (um número irracional que vale aproximadamente 2,718281828). A exponencial natural é caracterizada por ser idêntica à sua própria derivada.

A função exponencial natural surge na teoria das equações diferenciais na modelagem de grandezas que variam de forma proporcional a si mesmas aparecendo em problemas em física, química, engenharia, biologia matemática e economia.

Função exponencial

Representação	$e^x$ ou $exp(x)$
Inversa	$\ln x$
Derivada	$e^x$
Integral indefinida	$e^x+C$

O gráfico de Predefinição:Nowrap é uma curva de inclinação positiva e crescente. O gráfico está totalmente acima do eixo das abcissas e cresce mais rápido à medida que x aumenta. O eixo x é uma assíntota horizontal pois a curva se aproxima arbitrariamente de zero quando x é negativo. A declividade da reta tangente é sempre igual à coordenada y no ponto de tangência. A função inversa é o logaritmo natural ln(x), em função disso, alguns textos antigos se referem à função exponencial natural como antilogaritmo.

Em geral, a variável x pode ser qualquer número real ou complexo. A função exponencial natural pode ser generalizada na função exponencial matricial ou, mesmo, para objetos matemáticos completamente distintos, ver, por exemplo, teorema espectral.

No estudo da análise matemática, a função exponencial natural em conjunto com o logaritmo natural pode ser usada para definir a função exponencial y=a^x como y=e^ln(a)x onde a>0 e a≠1.

Definição formal

The exponential function (in blue), and the sum of the first n + 1 terms of the power series on the left (in red).

A função exponencial natural e^x pode ser formalmente caracterizada de diversas maneiras distintas, porém equivalentes. Em particicular, podemos defini-la pela seguinte série de potências:

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$

Aqui, n! indica o fatorial de n, isto é, o produto de todos os números naturais inferiores ou iguais a n.

A mesma expressão pode ser obtida a partir da expansão em série de Taylor da exponencial quando se usa uma definição alternativa.

Menos frequentemente a função, y=e^x é definida como a solução da seguinte equação integral:

$x=\underset{1}{\overset{y}{\int }}\frac{dt}{t}$

Ou ainda como o seguinte limite:

$e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x}{n})}^n$

A função exponencial natural pode também ser definida como a única função diferenciável y=f(x) que satifaz o seguinte problema de valor inicial:

$\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)=f(x)\\ f(0)=1\end{array}$

Finalmente, a função exponencial natural é a única função contínua y=f(x) que satisfaz:

$\begin{array}{c}f(x+y)=f(x)f(y)\\ f(1)=e\end{array}$

Propriedades

A exponencial natual satisfaz as seguinte propriedades:

• A função y = e^x é contínua e diferenciável para todo x.
• A derivada da função y = e^x é a própria função y = e^x.
• A função y = e^x é positiva e crescente para todo número real x.
• e^x+y = e^x e^y
• A curva y = e^x jamais toca o eixo x, embora se aproxime de zero para valores negativos de x, isto é:

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^x=0$

• Os valores de y=e^x crescem ilimitadamente, isto é:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^x=+\mathrm{\infty }$

• A função y=e^x cresce mais rápido que qualquer potência, isto é, para todo n natural, temos:

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^n{e}^x=0.$

Usando o logaritmo natural, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:

$a^x=e^{\ln (a)x},a>0a\ne 1.$

Função exponencial e equações diferenciais

A maior importância das funções exponenciais nos campos das ciências é o fato de que essas funções são múltiplas de suas próprias derivadas:

$\frac{d}{dx}{e}^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}$

Se a taxa de crescimento ou de decaimento de uma variável é proporcional ao seu tamanho, como é o caso de um crescimento populacional ilimitado, juros continuamente computados ou decaimento radiativo, então a variável pode ser escrita como uma função exponencial do tempo.

A função exponencial então resolve a equação diferencial básica

$\frac{dy}{dx}=y$

e é por essa razão comumente encontrada em equações diferenciais. Em particular a solução de equações diferenciais ordinárias pode freqüentemente ser escrita em termos de funções exponenciais, ver Equação diferencial linear.

Função exponencial no plano complexo

A série de potências que define o exponencial natural dada por

$e^z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}$

converge absolutamente para todo número complexo z e converge uniformemente em cada subconjunto limitado do plano complexo. A função exponencial natural está definida em todo plano e satisfaz as seguintes propriedades:

1.  $e^{z+w}=e^z{e}^w$
2.  $e^0=1$
3.  $e^z\ne 0$
4.  $\frac{d}{dz}{e}^z=e^z$
5.  A restrição de e^z à reta real coincide com a função exponencial natural real.
6.  A função exponencial no plano complexo é uma função holomórfica que é periódica com o período imaginário $2\pi i$.
7.  Se t é um número real, então, $e^{it}=\cos (t)+i\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(t)$ (relação de Euler)
8.  Para todo número complexo z, existe w tal que e^w = z.

Através destas propriedades, obtém-se que

$e^{a+bi}=e^a(\cos b+i\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b)$

onde a e b são valores reais. Essa fórmula conecta a função exponencial com as funções trigonométricas, e essa é a razão que estendendo o logaritmo natural a argumentos complexos resultam na função multivalente ln(z). Nós podemos definir como uma exponenciação mais geral: $z^w=e^{w\ln z}$ para todos os números complexos z e w. Essa exponencial é também uma função multivalente. As leis exponenciais mencionadas acima permanecem verdade se interpretadas propriamente como afirmações sobre funções multivalentes.

Função exponencial para matrizes e álgebras de Banach

A definição de função exponencial exp dada acima pode ser usada palavra por palavra para cada álgebra de Banach, e em particular para matrizes quadradas. Neste caso temos

$e^{x+y}=e^x{e}^y$

se $xy=yx$ (deveríamos adicionar a fórmula geral envolvendo comutadores aqui)

$e^0=1$

e^x é invertível com inverso e^-x

a derivada da exp no ponto x é aquela descrição linear que transforma u em u·e^x.

No contexto das álgebras de Banach não comutativas, como as álgebras de matrizes ou operadores no espaço de Banach ou de Hilbert, a função exponencial é freqüentemente considerada como uma função de um argumento real:

$f(t)=e^{tA}$

onde $A$ é um elemento fixo da álgebra e $t$ é qualquer número real. Essa função tem importantes propriedades:

$f(s+t)=f(s)f(t)$

$f(0)=1$

$f^{\prime }(t)=Af(t)$

Mapa exponencial nas álgebras de Lie

O "mapa exponencial" que passa uma álgebra de Lie a um grupo de Lie compartilha as propriedades acima, o que explica a terminologia. De fato, desde que R é uma álgebra de Lie de um grupo de Lie de todos os números positivos reais com multiplicação, a função exponencial para argumentos reais é um caso especial da situação da álgebra de Lie. Similarmente, desde que a álgebra de Lie M (n, R) de todas as matrizes reais quadradas pertence ao grupo de Lie de todas as matrizes quadradas invertíveis, a função para matrizes quadradas é um caso especial do mapa exponencial da álgebra de Lie.